Leírás

(0,1,2,3,..) ≠ {0,1,2,3,...}
______________________
Ezek a gondolatok át fogják formálni a matematikát. De hogy miről szól a blog, azt az áttekintőben olvashatod. 2012 júliusa óta nem tudott senki cáfolatot adni. Ez már-már az igazolásom.
______________________
These ideas will be to shape the mathematics. But what I'm talking about the blog, you can read about it in the overview. Since July 2012 could no rebuttal. This is almost proof.

Friss topikok

A Cantor-tétel cáfolata

2012.07.20. 17:45 | Takács Ferenc bp. | 64 komment

Összefoglalás: Megmutatom, hogy a természetes számok halmaza, hibás definícióinak (axiómáinak) köszönhetően, nem megszámlálható, azaz kontinuum számosságú, szemben a korábbi feltételezéssel, és szándékkal, mely szerint a természetes számok halmaza megszámlálhatóan végtelen számosságú. A természetes számokat halmazként kezelve nem csupán a megszámlálható nem negatív véges egész számokat tartalmazza, hanem a megszámlálhatatlan számosságú végtelen nagy egész számok osztályát is. Ebből következőleg a megszámlálhatóan végtelen számosságú természetes számok nem alkotnak szabályos matematikai halmazt. Megmutatom azt is, hogy a természetes számok hatványhalmaza szintén nem alkot halmazt, ahogy a természetes számok sem, azonban a hatványhalmaz megszámlálhatóan végtelen részhalmazokból áll, akárcsak a természetes számok. Megmutatom továbbá a Cantor-tétel bizonyításának hibáit.

Kulcsszavak: természetes számok, Peano-axiómák, számosság, hatványhalmaz, Cantor-tétel.

Bevezetés: Amikor Giuseppe Peano 1889-ben publikálta axiómáit, még nem nevezték a természetes számokat halmaznak. Axiómái definiálták, hogy a természetes számok egymásra következnek vég nélkül, és a matematikai indukciót, amely lehetővé teszi a bizonyítást a számelméletben. Két évvel később publikálta Georg Cantor tételét, amely a természetes számokra halmazként hivatkozik. Senkit sem zavart az elmúlt 121 évben, hogy a természetes számok halmazként való használata helytelen, sőt súlyos hibák forrása lehet. Ez a legjobban Cantor tételén, és annak hibás következményein látható. Időközben újrafogalmazták Peano-axiómákat felhasználva a halmazelmélet, így most ezek is hibásan olvashatók a könyvekben. Természetesen a halmazelmélet nagy áldás a matematika számára, mivel könnyen kezelhető, és formalizálható eszközöket biztosít. De a halmazok használata veszélyeket rejt, különösen végtelen halmazok esetében. Ezeket a csapdákat a legnagyobb matematikusok sem tudták elkerülni.

Jelenlegi állapot:

A Peano-axiómák egy jelenlegi változata egyszerű szavakkal:
(P1) a nulla természetes szám,
(P2) minden természetes számra következik egy másik természetes szám (a rákövetkező),
(P3) a nulla egyetlen természetes számnak sem rákövetkezője,
(P4) csak azonos számok rákövetkezői azonosak.
(P5) ha egy halmaz tartalmazza a nullát, és tartalmazza minden elemének a rákövetkezőjét is, akkor a halmaz minden természetes számot tartalmaz.

Megjegyzem, az axiómák ebben a formában, megszabadítva a hibás formalizmustól újra teljesen hibátlanok, bár az ötödik axióma nem egyértelmű.

Következzék Cantor bizonyítása, szintén egyszerű szavakkal:

Tegyük fel, hogy a hatványhalmaz megszámlálható, tehát létezik egy-egy értelmű f(n) megfeleltetés a természetes számok, és a hatványhalmaza között, azaz az f(n) függvény a természetes számok minden lehetséges részhalmazával összerendel egy sorszámot. Most vegyük azt az X részhalmazt, amely azon n természetes számokból áll, amelyek nincsenek a nekik megfelelő f(n) részhalmazban. Tehát, ha mondjuk az 5 nem eleme az ötödik részhalmaznak, akkor az 5 eleme X részhalmaznak. X eleme a természetes számok hatványhalmazának, ezért kell lennie olyan x számnak, hogy f(x) = X, de másrészről X definíciójából következőleg mégsem lehet olyan x hogy f(x) = X. Ez nyilvánvaló ellentmondás, ami azt jelenti, hogy rossz a kiindulási feltételezés. Ezért Cantor úgy véli, hogy a hatványhalmaz nem megszámlálható.

A Cantor-tétel általánosabban is megfogalmazható; egy halmaz számossága kisebb, mint hatványhalmazáé, A bizonyítás hasonló, hiszen a megszámlálhatóságot nem használtuk fel a bizonyításban. Az általános esettel csak az utolsó részben érintőlegesen foglalkozok, mivel elsődlegesen a természetes számok esetével kívánok foglalkozni.

A természetes számok hatványhalmaza megszámlálható

Az azonos számosság bizonyításához elegendő egy egy-egy értelmű leképezés létezését igazolni a természetes számok, és annak hatványhalmaza között. Íme itt egy konkrét leképezés. Vegyük a természetes számok bináris felírását, ahol is csak 0, és 1 található egy szám leírásában, és rendeljük hozzá bármely n természetes számhoz azt a H(n) részhalmazt, amelyben azok a természetes számok vannak, amelyiknél az n adott bináris helyi értékein egyes található. Íme néhány részhalmaz a sorszámaikkal:

H(0) = H(000(2)) = {-,-,-} = {},
H(1) = H(001(2)) = {-,-,0} = {0},
H(2) = H(010(2)) = {-,1,-} = {1},
H(3) = H(011(2)) = {-,1,0} = {0,1},
H(4) = H(100(2)) = {2,-,-} = {2},
H(5) = H(101(2)) = {2,-,0} = {0,2},
H(6) = H(110(2)) = {2,1,-} = {1,2},
H(7) = H(111(2)) = {2,1,0} = {0,1,2},…,
H(15) = H(1111(2)) = {0,1,2,3},...,
H(31) = H(11111(2)) = {0,1,2,3,4}, ..

Ez a leképezés korábban is jól ismert volt, és annyira egy-egy értelmű, hogy nincs is mit bizonyítani ezen. A helyi értékek éppen úgy megszámlálhatóak, mint a természetes számok. A számítástechnikában éppen ez a megfeleltetés teszi lehetővé, hogy a halmazműveleteket bitenkénti logikai műveletekkel valósítsuk meg. A megcáfolásomhoz elegendő lenne bebizonyítani a következő három dolog valamelyikét. Mutatni egy részhalmazt, amelyik nincs hozzárendelve egy sorszámhoz sem, vagy mutatni egy sorszámot, amelyhez nincs részhalmaz rendelve, vagy megmutatni, hogy ez a hozzárendelés nem egy-egy értelmű.

Természetesen a természetes számok hatványhalmaza éppen úgy nem használható halmazként, mint a természetes számok sem. A következő fejezetben megmutatom, hogy ez súlyos hibák forrása lehet. Csak véges számokkal, és a véges számok véges méretű részhalmazaival szabad dolgozni, és a véges esetekre vonatkozó állításokat a matematikai indukcióval lehet kiterjeszteni minden természetes szám esetére. A matematikai indukció nem halmazművelet.

Ez a leképezés felhasználható bármely más megszámlálhatóan végtelen objektumhoz is, például a racionális számokhoz, stb.., mivel ezek egy-egy értelműen hozzárendelhetők a természetes számokhoz.

Ezek után csak az nem világos számomra, hogy ezen trivialitások fényében hogyan lehetett fenntartani ilyen sokáig a Cantor-tétel állításait. Cantor valóban bizonyította, hogy nem létezhet az általa feltételezett függvény, de hibás következtetéseket vont le belőle. De mielőtt erre térnék, előtte egy másik kérdést kell tisztázni.

A véges természetes számok halmaza nem létezik

A természetes számok bármely véges részhalmazának van legnagyobb eleme, aminek rákövetkezőjét nem tartalmazza a részhalmaz, és ennek végtelen sok ezt követő rákövetkezőjét sem (1. tétel). Ha a részhalmaz egy nem-nulla-kezdőszelet, azaz tartalmaz minden természetes számot egytől a legnagyobb elemig, akkor a legnagyobb elem azonos az elemek számával, vagyis az elemek száma eleme a részhalmaznak (2. tétel). Amikor kijelentjük azt, hogy egy halmaz tartalmaz minden természetes számot, ahogy azt látjuk P5 axiómában, akkor a második tétel használatára vagyunk kényszerítve. A természetes számok száma végtelen, így a végtelen is eleme ennek a halmaznak (3. tétel).(kihúzva, és a következő bekezdés beírva: 2016.nov.11.)

A rákövetkezés művelete valamely természetes számról egy másik természetes számra hivatkozik, amelyet újabb természetes számok végtelen sorozata követ. Az egyetlen művelet amellyel a természetes számok bármelyikét elérhetjük az a rákövetkezés művelete, de az, mint látjuk alkalmatlan arra, hogy minden természetes számot elérjünk, bármennyiszer is alkalmazzuk, ugyanúgy végtelen sok természetes számot nem értünk el, tehát kizárólag véges számú természetes számot tartalmazó halmazok érhetők el a rákövetkezés műveletével. A (P5) axióma viszont felveti annak lehetőségét, hogy létezik olyan halmaz, amely tartalmazza az összes természetes számot, jó lehet az a rákövetkezés műveletével nem hozható létre. Vajon hogyan hozható létre ilyen halmaz? Hasonló problémával ismertetett meg bennünket Zénon apóriája. A probléma kezelésére a határérték képzés művelete szolgál mind Zénon apóriájában, mind az összes természetes számot tartalmazó halmaz esetében. Ha egy végtelen sorozat tagjainak mindegyikére szükség van egy művelet elvégzésére, akkor a sorozat határértékét kell képeznünk. N  = Un=0n. Az így előállított halmaz azonban nem csak a véges természetes számokat tartalmazza, hanem a végtelen nagy számokat is, mivel az előbbi művelet utolsó eleme limnn = .

Tehát amikor hivatkozunk a természetes számok halmazára, vagyis egy olyan halmazra, amelyik minden természetes számot tartalmaz, ez elkerülhetetlenül maga után vonja a végtelen nagy számokra való hivatkozást is. A természetes számok egyetlen véges részhalmaza sem tartalmazhat minden természetes számot, így nincs lehetőség, hogy a részhalmazokat kiterjesszük minden természetes számra a rákövetkezőik, vagy a matematikai indukció segítségével. Nincs középút. Ha azt mondnánk, hogy a végtelen számok nem elemei e halmaznak, akkor ezzel azt is mondanánk, hogy a természetes számok száma véges. Vagy ha azt mondanánk, hogy nem léteznek végtelen nagy természetes számok, úgy az N halmaz képzését még a végtelen előtt be kellene fejezni, de ekkor csak véges részhalmaz lenne az eredmény.

Természetesen azt már tudhatjuk a végtelenről, hogy megszámlálhatatlanul végtelen számosságú halmaz. Bármely végtelen számnak megszámlálhatatlan rákövetkezője van. Tehát amikor végrehajtunk egy műveletet a minden természetes számot tartalmazó halmazon, akkor megszámlálhatatlan végtelen nagy számot tartalmazó halmazzal dolgozunk. Ráadásul a végtelen nagy számok vannak túlnyomó többségben, mivel a véges számok elhanyagolhatóak a végtelen nagy számok számához képest.

Ezt a sajnálatos körülményt nem rögzítik az axiómák, így azok félreérthetők, félrevezetők, és hiányosak.

A végtelen nagy számok leírása megfeleltethető az egynél kisebb pozitív valós számok tizedes törttel való leírása reciprokának, tizedes pontra való tükrözésének. Tehát számjegyek végtelen sorozatával (amit három ponttal rövidítünk) írhatjuk le őket amiket a véges helyi értékek követnek baloldalt. Például a ...00 jelenti a százzal osztható végtelen számokat. Valóban, bármely ilyen végtelen tizedestört a (0,1) intervallumból megfeleltethető ugyanazon számsorozatnak fordított sorrendben, mint egy végtelen nagy egész szám. És mivel ezen végtelen sorozatok megfelelően reprezentálják a valós számokat az intervallumban, így ezek reciproka is megfelelően reprezentálja a végtelen nagy pozitív egészeket, továbbá ezek számossága azonos, tehát megszámlálhatatlanul végtelen.

Ne feledjük tehát, hogy a sokat emlegetett N halmaz kontinuum számosságú, és végtelen számokat tartalmaz. Talán kényelmes leírni a bizonyításokba, hogy nN, vagy nN, de félrevezető, mivel ∞∈Ν, és ha n végtelen, akkor az n számot tartalmazó formulák gyakran értelmetlenné válnak. Az egyedüli helyes definíció az, hogy „n természetes szám”, vagy hogy „nincs olyan n természetes szám”.

Szerencsétlen következmény, hogy újra kell alkotni a matematikai formalizmust. Bevezethető egy viszonylag egyszerű szimbolikus halmaz, I = N\{∞} és helyettesítve N halmaz I halmazzal, a korábbi képletek döntő többsége korrekt maradna, illetve azzá válna. Természetesen I nem valódi halmaz, így csak korlátozottan végezhetők vele műveletek.

Néhány megjegyzés a Cantor-tételről

A Cantor-tétel cáfolatot nyert azáltal, hogy megmutattam egy egy-egy értelmű leképezést a természetes számok, és hatványhalmaza között. Így itt már csak azt elemzem, hol hibázott Cantor. Az én H(n) leképezésemet használva Cantor bizonyításához ellenőrizhető, hogy az X halmaz minden természetes számot tartalmaz, mivel bármely részhalmaz sorszáma nagyobb, mint a részhalmaz legnagyobb eleme. Így X halmaz a természetes számok halmaza, és a hozzárendelt x sorszám a legutolsó, a legnagyobb véges természetes szám lenne, ha volna ilyen. Ehelyett x végtelen, és láthatólag Cantor végtelen nagy számokkal kalkulál. Cantor előtt a matematika történetében senki sem próbálta végtelen számokat is tartalmazó halmazként kezelni a természetes számokat, és legfőbb ideje felismerni, hogy ezt soha nem is szabad megtenni. A számelméleti problémákat csak indukcióval, és az indukción alapuló módszerekkel lehet bizonyítani.*

A Cantor-tétel nem korlátozódik a természetes számokra, hanem úgy vélik tetszőleges halmazokra lehet alkalmazni, függetlenül azok számosságától. Valójában ezt a tételt tekintik bizonyítékul, hogy a számosságok nem korlátozódnak a természetes számok, és a valós számok számosságára, hanem létezik a számosságok végtelen sorozata is. Ez egy tévedés. Az egy-egy értelmű leképezés létezése bizonyítja két halmaz azonos számosságát, de a leképezés hiánya nem bizonyítja a különböző számosságot. Csak annyi bizonyos, hogy különböző számosságú halmazokra nem létezik ilyen leképezés. A leképezés nem létezésének más okai is lehetnek. Különösen amikor megszámlálhatatlanul végtelen halmazzal van dolgunk. És pontosan ez a helyzet A megszámlálhatóan végtelen esetre megmutattam, hogy létezik ilyen leképezés. Egy halmaz megszámlálhatatlan, ha nem létezik egy-egy értelmű leképezés a halmaz, és a természetes számok között. Nagyon valószínű, hogy ugyanez az oka, hogy nem létezik leképezés a halmaz, és hatványhalmaza között (sejtés).

Szemléltető példa: Keressünk egy hatványhalmazt, és hozzá leképezést a valós számokhoz. Elegendő a [0,1] intervallummal foglalkozni, mivel az intervallum leképezhető a teljes számegyenesre. Osszuk az intervallumot n egyenlő részre, ahol n egész szám, és képezzük az intervallumok hatványhalmazát a fenti H leképezés szerint. Ekkor az n-edik felosztáshoz tartozik 2n sorszám, és ugyanennyi nem folytonos intervallum. Próbáljuk képezni ennek a felosztásnak a határértékét, amikor n tart végtelenhez.

Mit kapunk eredményül? Az intervallumok hosszának határértéke nulla, így az intervallumok valóban valós számokká váltak, és azok folytonosan lefedik a [0,1] intervallumot. (Hasonló lefedést láthatunk a Peano görbénél.) A H leképezés alakulása meglehetősen speciális. Minden véges természetes szám a nullába képez, az intervallum bal oldalán. Az intervallum többi részére csak végtelen nagy természetes számok képeznek. Ugyanis minden véges szám reciproka nullához tart, és így határértéke nulla. Azonban ez a leképezés nem egy-egy értelmű, mivel minden véges természetes szám az egyetlen egy nullába képez. A helyzet még rosszabbul alakul a hatványhalmaz esetére, mivel az nem konvergál. A különböző felosztásokhoz tartozó hatványhalmazok függetlenek egymástól. Így ez a példa azt mutatja, milyen problémás hivatkozni egy megszámlálhatatlan halmaz hatványhalmazára, vagy leképezni azt. Nagy valószínűséggel áthidalhatatlan nehézség. Ezért a hatványhalmaz fogalmának használata nem megalapozott megszámlálhatatlan halmazoknál. Még kevésbé megalapozott leképezést rendelni egy ilyen gyanús halmazhoz. Nem találtunk megoldást, de a hitünk erősödött abban, hogy nincs is megoldás.

Ez a példa azt is megmutatta, hogy miképpen törpül nullává a megszámlálható számosság a megszámlálhatatlanhoz képes. Ezzel szemben nagyobb számosságok nincsenek, és nincs rájuk példa. Ez csak téves hipotézis. Nincs nagyobb számosság, mint a valós számok számossága.

Ez a példa azt is megmutatta, hogy a természetes számok halmaznak nyilvánítása maga után vonja a határértékképzést, mivel a halmaz, és vele a végtelen nagy számok nem kaphatók meg indukcióval. Ezt nem árt még egy példán bemutatni.

Még egy példa: (A végtelen létra vetülete) Állítsunk szimbolikus létrákat (illetve azok elvi metszeteit, tehát egyenes szakaszokon egyenletes távolságra eső pontsorozatokat) az (1,0) koordinátájú pontba úgy hogy a létrákat az y tengelynek támasszuk. Bármely létra mindig olyan hosszú, hogy az y tengelyt pozitív egész értékeknél éri el, és a létrafokok y koordinátái is mindig egész számok. A létrákat az y tengellyel való metszés szerint indexeljük, így az n-edik létra az y=n–nx egyenletű egyenes y tengely és x tengely közötti szakaszán levő egész y koordinátájú pontokból áll. Vizsgáljuk a létra fokok x tengelyen való x vetületeit is. Az n-edik létránál ezek a (k/n,0) koordinátájú pontok, ahol (k=0,...,n).

Vizsgáljuk meg mihez konvergál a létrák sorozata, a létrafokok vetülete, és a létrafokok y koordinátáinak halmaza, mikor n-nel tartunk végtelenhez. A létra n növekedésével egyre meredekebb lesz, és a függőlegeshez konvergál, így határértékben függőleges pontsorozat lesz (1,0) felett. A létrafokok vetületei közti távolság 1/n szerint nullához konvergál, tehát határértéke nulla, így a létra vetülete határértékben folytonosan lefedi a [0,1] valós intervallumot. A létrafokok y koordinátáinak halmaza sorra a természetes számok kezdőszelet halmazai, és ennek határértéke tartalmazza az összes véges természetes számot. De nem csak azokat. Ugyanis tetszőleges véges k természetes számra az 1-k/n vetület egyhez konvergál, amikor n tart k-tól végtelenhez, így minden véges indexű lépcsőfok az egyetlen (1,0) vetületi pont fölé esik. A [0,1] intervallum többi részére, ami [0,1) intervallum, következésképpen csak a végtelen nagy egész számokkal indexelt lépcsőfokok vetületei eshetnek. Így hát ezen végtelen nagy természetes számok is szükségképpen elemei a halmaznak. A példa igen szemléletesen megmutatja, hogy egy végtelen sorozat kizárólag a határértékképzés művelete által válhat halmazzá, de közben a megszámlálhatóan végtelen sorozat megszámlálhatatlan folytonos sokasággá válik.

Még egy következtetés: Felmerülhet a kérdés, mi szükség az ötödik axiómára. Némely forrás szerint az indukció elvét hivatott deklarálni. Ha ez így lenne, akkor ez nagyon rossz út erre. Egy axióma csak akkor lehet jó, ha magától értetődő, és az elemi matematikai oktatás alapja tud lenni Nagyon hasznos, ha tudjuk milyen műveleteket lehet végezni véges halmazokkal, de súlyos hiba, ha a természetes számokat halmaznak tekintjük. Ez nem elemi matematika, nem az axiómák szintje.

Budapest, 2012. május 21.Takács Ferenc bp.

* Mint ahogyan a későbbi cikkeimben részletesen rávilágítottam, Cantor bizonyítása minden részletében pontosan megfeleltethető a Russell paradoxonnak, és pontosan azért nevezzük ezt a logikai bakugrást paradoxonnak, mert logikailag ellentmondásos feltevéssel hozz ki egy logikai ellenmondást. Cantor ugyanis egy olyan halmazt próbál kreálni a bizonyításban, amelybe csak azok az elemek kerülhetnek be, amelyek nem lehetnek az elemei, tehát ellentmondásos a feltétel. Ily módon azután könnyű kimutatnia, hogy ilyen halmaz nem is létezhet, csak hogy ennek semmi köze a bizonyítandó tételhez, sőt még a halmazelmélethez sem. Egy szimpla logikai hibáról van szó.

A bejegyzés trackback címe:

https://takacs-ferenc.blog.hu/api/trackback/id/tr264668460

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Takács Ferenc bp. 2012.07.20. 18:59:37

Eddig két cáfolatot kaptam:

Kedves Takács Ferenc!

Bizonyítása helyes, de az nem cáfolja Cantor tételét. Ugyanis H(n)
leképezése a természetes számok és annak VÉGES részhalmazai között .
defíniál 1-1 megfeleltetést.

De Cantor tétele azt mondja ki, hogy ilyen megfeleltetés nem létezik,
ha az ÖSSZES RÉSZHALMAZT (tehát a végtelen részhalmazokat, pl. a
páratlan számok halmazát is) meg kell kapnunk a megfeleltetésben.

Üdvözlettel Gyárfás András

Kedves Ferenc!

Sajnos nem áll módomban, hogy alaposan áttanulmányozzam ,,A Cantor-tétel
cáfolata'' című dolgozatát, de egy dologra szeretném felhívni a figyelmét,
hátha ezzel valamennyire a segítségére leszek. Nevezetesen: ,,A
természetes számok hatványhalmaza megszámlálható'' című szakaszban az Ön
által megadott H leképezés valóban egy-egyértelmű, csakhogy nem a
természetes számok hatványhalmazára képez le, hanem csupán a természetes
számok véges részhalmazai halmazára. Ugyanis pontosan a véges részhalmazok
lépnek fel képként. A természetes számok hatványhalmaza pedig a
természetes számok minden részhalmazát tartalmazza, nem csak a végeseket.
Így csupán azt bizonyította, hogy a természetes számok véges
részhalmazainak a halmaza megszámlálható, ami igaz is, és nincs
ellentmondásban a Cantor-tétellel.

Üdvözlettel: Lovas Rezső

Takács Ferenc bp. 2012.07.20. 19:05:26

Kedves Lovas Rezső és Gyárfás András!

Valóban úgy tűnhet, hogy a természetes számok tetszőleges sorozatai hasonlatosnak látszanak a végtelen tizedes törtek sorozataihoz. És ez alapján jogosnak tűnnek az ellenvetések. Azonban van egy jelentős különbség! A végtelen tizedes törtek határértékei reprezentálják a valós számokat, nem pedig a számjegyek sorozatai. Vagyis a páros számok sorozata eleme a H(n) sorozatnak, még ha a sorozat határértéke nem is az.

Tehát ha mondjuk a végtelen tizedes törteket egy átlós bejárással számlálom, úgy bármely véges tizedes törtet megszámlálok, jó lehet egyetlen egy irracionális számot sem tudok megszámlálni, vagy akár az 1/3-ot sem, mivel ezek csak végtelen tizedes törtek határértékeiként állnak elő. Így tehát a végtelen tizedes törtek nem számlálhatók meg (ilyen módon sem).

Azonban ugyanezen bejárással már nem állíthatom, hogy nem érhetném el bármely tizedes helyi-értéken bármely számot. A bejárási algoritmus ugyanis egy sorozat, ahogyan a tizedes törtek is.

Ugyanez a helyzet a H leképezéssel. A természetes számok nem véges részhalmazai is sorozatok, akárcsak a természetes számok, és pontosan akkor nem tartalmazza H a nem véges részhalmazokat, amikor a természetes számok sem végesek.

És persze azt sem szabad elfeledni, hogy a Russel paradoxon, és a Cantor tétel bizonyítása közötti analógia eleve érvényteleníti a Cantor tételt.

Takács Ferenc bp. 2012.07.23. 08:58:26

Még egy cáfolatot kaptam:

Kedves Takacs Ferenc!
Elolvastam az anyagokat es a kovetkezo hibakat talaltam.
1. On az n termeszetes szamnak megfelelteti azt a H(n) halmazt, amelyben azok a termeszetes szamok talalhatok, amelyeknel az n adott binaris helyi ertekein egyes szerepel, es azt allitja, hogy ez egy-egyertelmu megfeleltetes a termeszetes szamok halmaza es annak hatvanyhalmaza kozott (amibol kovetkezne, hogy a termeszetes szamok halmaza es annak hatvanyhalmaza azonos szamossagu). Ez nem igaz, mert igy csak veges reszhalmazokat kap meg, pl. a paros termeszetes szamok halmaza
soha nem jon letre. Ezert rossz a bizonyitasa, vagyis nem cafolja Cantor tetelet, miszerint a hatvanyhalmaz szamossaga mindig nagyobb, mint az alaphalmaze. (Az On bizonyitasabol adodik, hogy a termeszetes szamok VEGES reszhalmazaibol allo halmaz megszamlalhato, ami valoban igaz, es sok mas modon is igazolhato.)
2. A Russell-paradoxon es a Cantor-fele bizonyitas kozott valoban van formai hasonlosag, mindketto ellentmondast hoz ki. Ez a Russell-paradoxon eseteben azt jelenti, hogy az adott "valamivel" baj van, es ezert az nem tekintheto halmaznak, mig Cantornal egy indirekt bizonyitas tortenik, es az ellentmondas mutatja meg, hogy az egy-egyertelmuseg feltetelezese okoz problemat, vagyis nem all fenn az egy-egyertelmuseg. Ettol semmi baj sincs sem a termeszetes szamok halmaz mivoltaval, sem pedig a hatvanyhalmazeval.
Remelem, fenti ervelesem meggyozte Ont, hogy nincs problema Cantor tetelevel es a halmazelmelet nem matematikai tevedeseken alapul. Ha megsem, akkor sajnos arra nincs sem idom, sem energiam, hogy ezekkel a
kerdesekkel a jovoben tovabb foglalkozzak.
Uddvozlettel
Freud Robert

Takács Ferenc bp. 2012.07.23. 09:12:54

Kedves Freud Róbert!

Az 1. pontbeli bírálata ugyanaz, mint a már korábban kapott bírálatok, amire pénteken csak néhány percem maradt, hogy reagáljak, így csak egy hasonlatra, analógiára futotta, ami ugyan iránymutató, de nem kimerítő. De mivel ez az ellenvetés immár sokadszor merül fel, így rövidesen felteszek egy részletes elemzést ezzel kapcsolatban egy új blogbejegyzés formájában, amit Lovas Rezsőnek, és Gyárfás Andrásnak is a figyelmébe ajánlok.

A 2. pontra vonatkozóan fontos kihangsúlyozni, hogy szó nincs formai hasonlóságról, az kifejezett azonosság, amelyben a Cantor tétel bizonyításának minden eleme pontosan megfeleltethető a Russell-paradoxon elemeinek. És emiatt pontosan azért jön ki ellentmondás az indirekt bizonyításban, amiért is a Russell-paradoxon is paradoxon. Tehát az ellentmondásnak semmi köze a halmaz, és hatványhalmaz közötti megfeleltetés létéhez. De a világosabban látás kedvéért az erre vonatkozó blogbejegyzésemet rövidesen jobban részletezve frissíteni fogom.

Üdvözlettel Takács Ferenc

measure41 2016.11.07. 16:00:05

Kedves Ferenc!

Egy újabb logikai hibára szeretném felhívni a figyelmét, bár ahogy látom, az eddigi cáfolatokat sem fogadta el, nyilvánvalóan azért, mert hiszi, hogy Ön valami forradalmi felfedezést tett, és mint tudjuk: "a matematikusok manapság inkább hisznek, mintsem gondolkodnának." Megjegyzem, az ilyesfajta "mindenki hülye, csak én vagyok helikopter" retorika főként az áltudományos munkákra jellemző.
Az ön "bizonyítása" miszerint a véges természetes számok halmaza nem létezik 1. és 2. tétele trivialitás, és igaz, majd azt mondja:
"Amikor kijelentjük azt, hogy egy halmaz tartalmaz minden természetes számot, ahogy azt látjuk P5 axiómában, akkor a második tétel használatára vagyunk kényszerítve."
A 2. tétel az ön által nem-nulla-kezdőszeletekre vonatkozik, melyeknek meg van az a tulajdonsága, hogy NEM tartalmazza minden elemének a rákövetkezőjét, ami a P5 axiómával ellentmondásban van ("tartalmazza minden elemének a rákövetkezőjét"), tehát nem alkalmazható a 3. tételének bizonyításában (a 2. tétel feltétele nem teljesül a 3. tételben szereplő halmazra). Ebből viszont természetesen következik, hogy a "tétel" Ön által felvetett minden következménye irreleváns.

Takács Ferenc bp. 2016.11.07. 17:41:55

@measure41: A kezdőszelet halmaznak nem is szükséges teljesítenie a P5 axiómát, mivel az csak véges részhalmaza a természetes számoknak. Viszont a 2. tétel a teljes indukció miatt minden természetes számra igaz. Nem egy adott kezdőszelet halmazra fogalmaztam meg az állítást, hanem a természetes számok tetszőleges kezdőszelet halmazára, vagyis minden kezdőszelet halmazra. Eldöntendő tehát, hogy a kezdőszelet halmazok mindegyike tartalmaz-e minden természetes számot, vagy netán kimarad némelyik természetes szám. Ha tartalmaz, akkor a 2. állítás érvényes a természetes számokra, vagyis a végtelen sok természetes számok halmaza tartalmazza a végtelen nagy számokat is. Ha nem tartalmaz minden természetes számot, úgy nem érvényes a teljes indukció elve.

measure41 2016.11.07. 21:39:43

@Takács Ferenc bp.: Ha jól látott félreértett.

Egy szóval nem állítottam, hogy a nem-nulla-kezdőszeletek teljesítik a P5 axiómát, ahogy azt sem állítottam, hogy a 2. tétel nem lenne igaz. A második tétel éppen azért igaz, mert van benne olyan elem, aminek rákövetkezőjét és ennek végtelen sok ezt követő rákövetkezőjét sem. Ez az a pont, ahol bukik a dolog, mert ha azt mondjuk hogy az N halmaz teljesíti a P5 axiómát, akkor ebben viszont minden elemének minden rákövetkezőjét is tartalmazza, tehát a 2. tétel nem alkalmazható.
Azt meg már csak mellékesen jegyzem meg, hogy nyilván egyetlen nem-nulla-kezdőszelet sem tartalmazhatja az összes természetes számot, mert egyiknek sem eleme a nulla, bár az csak megállapodás kérdése, hogy a 0 természetes szám e vagy sem, így a az axiómák kimondhatóak nulla helyett 1-el is, de igazából lényegtelen, érvelésében nem ez a lényeges hiba.

Takács Ferenc bp. 2016.11.08. 09:02:58

@measure41: Tehát az 1. és 2. tétel igaz. Minden természetes számra igaz. Ezek szerint nincs olyan halmaza a természetes számoknak, amely minden természetes számot tartalmazna (a nullát nem tekintve). Melyik axióma tiltja meg, hogy egy minden természetes számra igaz állítást érvénytelennek, alkalmazhatatlannak minősítsünk minden természetes számra? És ez pontosan ellentétes állítás, mint amit a P5 axióma állít. Vajon konzisztens-e az az axióma rendszer, amely ilyen ellentmondásokat tartalmaz? Vajon nem szükségszerű, hogy egy ellentmondásos axiómarendszerben egymással ellentmondó állítások bizonyíthatók be? Miért lenne egyik állítás igazabb, mint a vele ellentétes másik, ha egyébként mindegyik levezethető az axiómákból? Vajon elfogadható-e az olyan axióma rendszer, amelyben ez megtehető? Vajon nem az axióma rendszer cáfolata az, hogy ilyen levezetések megfogalmazhatók benne?

Azon állításom tehát, hogy a nem nulla kezdőszelet halmazok tartalmazzák saját számosságuk jelzőszámát, egyféleképpen oldható fel konzisztensen. A természetes számok halmazába bele kell venni a végtelen nagy számokat, amelyek jellemzik a természetes számok számosságát. Természetesen ekkor már nem beszélhetünk ezen halmaz megszámlálhatóságáról. Az megszámlálhatatlan.

measure41 2016.11.08. 12:12:44

@Takács Ferenc bp.:

Azt hagyja figyelmen kívül, hogy a 2. tétel implicit azt állítja, hogy minden n természetes számhoz létezik olyan A halmaz (pl N=3 -> A = {1, 2, 3}), melyre a) kielégíti a nem-nulla-kezdőszelet definícióját, és b) n ∈ A, mely valóban teljes indukcióval könnyen bizonyítható. De ennél semmivel sem többet. Az állítás csupán ezekre a halmazokra vonatkozik, és a b) része azért igaz, mert létezik ezen halmazoknak olyan eleme, aminek rákövetkezőjét és ennek végtelen sok ezt követő rákövetkezőjét sem tartalmazza, azaz létezik legnagyobb eleme. Ezzel szemben, ha feltesszük egy halmazól, hogy teljesíti a P5 axiómát, akkor ebből következik, hogy nem létezik olyan természetes szám, melyre ez a halmaz megfelelne a nem-nulla-kezdőszelet definíciójának, tehát erre a halmazra nem igazolt a tétel, hiszen erre a halmazra nem juthatunk indukcióval egyetlen nem-nulla-kezdőszeletből sem.

Takács Ferenc bp. 2016.11.08. 13:49:03

@measure41: Fogadja elismerésem. Arról sikerült meggyőznie, hogy a fent leírt bizonyításom nem elégséges a végtelen nagy számok létének igazolásához, így ha ezt továbbra is bizonyítani akarom, további bizonyítási lépésekre van szükség. Remélem hamarosan megtalálom ezeket.

Takács Ferenc bp. 2016.11.09. 09:25:27

@measure41: Most már tisztán látom a megoldást, de a megfogalmazása nagyobb falat. Egyébként az utolsó cikkemben, a "Rövid összefoglalóban .." már szerepelt, és ebben a cikkben is többször utalok rá. De itt megpróbáltam egy rövidebb, frappáns bizonyítást is adni, ami nem jött be, és tulajdonképpen teljesen érthető módon nem is jöhetett be, mert egyetlen módon lehet eljutni logikailag a természetes számok halmazához, és mellette a végtelenhez, és a végtelen nagy számokhoz, a P5 axióma alkalmazása nélkül, a határérték képzéssel. Ez az út nyilván hosszabb, és bonyolultabb, mint hasra ütéssel kimondani egy axiómát, azonban mégis fölöslegessé teszi az axiómát, és felfedi a természetes számok halmazának valódi tulajdonságát, a megszámlálhatatlanságát. A fölösleges axióma úgy teszi túlhatározottá a természetes számok meghatározását, hogy közben nem derülnek ki valódi tulajdonságai.

measure41 2016.11.09. 18:00:17

@Takács Ferenc bp.:
Izgatottan várom ennek részletes kifejtését, de ne vegye zokon, szkeptikus vagyok. A Russell-Cantor analógia cikke alatt már utaltam rá, hogy a "határértékképzés" fogalmát ön tulajdonképpen sehol sem definiálta, mint egy intuitív fogalomként hivatkozik rá, ez kifejezetten érdekelne, hogy ön ezt formálisan hogyan fogalmazná meg.

measure41 2016.11.09. 18:40:29

Amúgy, egy igen egyszerű példa az P5 szükségességére. Első körben azt kell hozzá megérteni, hogy az axiómák tulajdonképpen nem azt mondják meg, hogy mik a természetes számok, csupán azt, hogy milyen tulajdonsággal rendelkeznek.
Nézzük a következő példát:
Legyen A az a halmaz amely tartalmazza a 0-t, és a [0, 1] intervallum összes irracionális számát. Ez után legyen B az a halmaz, melynek minden eleme x+n alakú, ahol x ∈ A és n természetes szám. (Ha x ∈ B, nevezzük (x+1)-et x rákövetkezőjének.) Erre a B halmazra teljesülnek P1-P4 axiómák., hiszen:
P1: 0 ∈ B
P2: minden y ∈ B esetén y+1=(x+n)+1=x+(n+1) ∈ B, hiszen n+1 is természetes szám.
P3: -1 nem eleme B-nek, így nyilván igaz
P4: x, y ∈ B, x+1=y+1, mely egyenlet pontosan akkor oldható meg, ha x=y
Sőt, ha C = {x-n: x ∈ [0, 1], x irracionális és n természetes szám}, akkor az a B és C halmazok uniója is eleget tesz a négy axiómának.
A P5 axióma a természetes számok azon tulajdonságát fejezi ki, hogy a 0-ból kiindulva a rákövetkezés függvény egymás utáni alkalmazásával az összes természetes számot megkapjuk, míg, ha ezt nem tesszük fel, a fenti példában szereplő két különböző struktúrát (melyekre ez nem teljesül) megfeleltethetnénk a természetes számok halmazával. (Amelyek egyébként valóban megszámlálhatatlan halmazok, de megszámlálható példát is lehet adni, például, ha a kiindulási A halmazunk egyenlő a {0, 1/2} halmazzal.)

Takács Ferenc bp. 2016.11.09. 21:06:35

@measure41: Bár érdekes struktúrákat definiáltál, nem bizonyítják a konkluziódat, a P5 axióma nem zárja ki az irracionális számokat a természetes számok közül, ahogyan a végtelen nagy számokat sem. De az első négy axiómát eddig én mindig úgy értelmeztem, hogy ezek definíciók is, tehát explicit csak a kezdő elem van definiálva, minden más elem csak a rákövetkezés által. Ha ez másképpen értelmezhető lenne, az hiba volna.

measure41 2016.11.09. 21:15:05

@measure41:
Végezetül még egy megjegyzés. Az összefoglalóból számomra egyértelműen az derül ki, hogy ön nincs tisztában a rendszám (ordinal number) és a számosság (cardinal number) halmazelméleti fogalmával, ami tulajdonképpen, valamilyen módon azonosítható "végtelen természetes számok" képzetével. (Cáfoljon meg, ha tévedek.) Való igaz, hogy az S(x) = x U {x} rákövetkezési operáció segítségével az üres halmazból kiindulva olyan objektumokat kapunk amiket megfeleltethetünk a természetes számoknak, melyek a rendszám (mint speciális halmaz) tulajdonságának megfelelnek. Egy rendszámot limeszrendszámnak nevezünk, ha nem üres, és nem létezik olyan rendszám, melynek a rákövetkezője lenne. A limeszrendszám létezésének bizonyításához viszont szükség van a végtelenségi axiómára, azaz, hogy létezik olyan halmaz, ami nem üres, és ha x eleme, akkor S(x) is az. Sőt, az is igaz, hogy a számosság definícióját is kielégítik. A két fogalom itt válik el, nagy vonalakban egy A halmaz számosság, ha véges rendszám (a fenti halmazok) vagy limeszrendszám. A a számosságok körében a rákövetkezés és a rendezés már másik definíciót igényel. Ugyanis míg, ha két halmaz, A és B rendszám, akkor azt mondjuk, hogy A < B, ha A ∈ B. (Az összefoglalóban következmény címszó alatti 9. pont például nem igaz, mert ha A végtelen rendszám, akkor A és S(A) között létezik bijekció)
Ezekkel olyan elméletet kaptunk, mely összhangban van a "két halmaznak azonos a számossága, ha létezik közöttük bijekció" definícióval. A "végtelen természetes számokhoz" való hasonlóságot az indokolja, hogy némileg hasonló tulajdonságok fedezhetőek fel, és értelmezhető rajtuk egy bizonyos aritmetika, de a természetes számokhoz csupán annyi közük van, hogy egy bizonyos részhalmazuk (a véges számosságok halmaza) kielégíti a Piano axiómákat, tehát modellezi a természetes számokat. Ilyen keretek között részletesebb kifejtés azt hiszem nem is lehetséges. Arra szeretném biztatni Önt, hogy ahelyett, hogy nyilvánvaló logikai hibáktól nyüzsgő álteóriák kreálása helyett foglalkozzon a matematika például ezen (kifejezetten izgalmas, bár nem kifejezetten egyszerű) területének tanulmányozásával, higgye el, a valódi matematika sokkal izgalmasabb, mint a fikció.

measure41 2016.11.09. 21:28:04

@Takács Ferenc bp.:
Ebben az esetben szeretném, ha mutatna nekem egy olyan természetes számot, amiből a rákövetkezés műveletével megkapunk egy irracionális vagy egy végtelen nagy számot.
Elég egyszerű bizonyítani, hogy a P5 kizárja a végtelen számok létezését. Tegyük fel, hogy létezik végtelen természetes szám. Legyen A a természetes számoknak azon részhalmaza, amely pontosan a végtelen természetes számokat tartalmazza. Ekkor mivelhogy a természetes számok minden részhalmazának létetzk legkisebb eleme, tehát A-nak is, jelöljük ezt x-el. Mivel P5 szerint 0-ból a rákövetkezés műveletével minden természetes számhoz eljuthatunk, így x-hez is, tehát van olyan y melynek x a rákövetkezője. De mivel y < x, ezért y nem eleme A-nak (x minimalitása miatt), tehát y véges, és véges természetes szám rákövetkezője szintén véges, tehát x is véges, ami ellentmondás.

measure41 2016.11.09. 21:31:43

@Takács Ferenc bp.:
Az, hogy az axiómát Ön így értelmezi, az egy dolog, az meg egy másik, hogy konkrét definícióval bír a matematikai logikában.

measure41 2016.11.10. 00:41:50

Ha a fentiek még mindig nem győzték meg, akkor nézzük kicsit más irányból.
Az egyszerűség kedvéért írjuk át az axiómákat a természetes számok halmazos megfeleltetésének nyelvére.

P1: Az ø természetes szám.
P2: Ha x természetes szám, akkor S(x)=x U {x} természetes szám
P3: Nem létezik olyan x természetes szám, melyre S(x) = ø
P4: Ha x és y természetes számok és S(x) = S(y), akkor x = y
P5: Ha egy halmaz tartalmazza az üres halmazt, és minden x elemére tartalmazza S(x)-et is, akkor tartalmazza az összes természetes számot

Ezek után vezessük be az ön határértékképzését, ehhez posztulálni kell egy újabb axiómát:

P6: Ha egy X halmaz tartalmazza az üres halmazt, minden x elemére tartalmazza S(x)-et, és nincs olyan y eleme, melyre ne lehetne az üres halmazból S véges sok egymás utáni alkalmazásával eljutni, akkor X természetes szám.

(Így formálisabban megfogalmazva egyértelműen látszik, hogy tulajdonképpen az ön határértékképzése lényegében nem más mint a végtelenségi axióma, amit amúgy kritizált az összefoglalójában)

P5 és P6 ellentmondásban van. Legyen X P6-nak eleget tevő halmaz, tehát természetes szám. P2 miatt S(X) is természetes szám, ráadásul halmaz, amely tartalmazza X-et. Hagyjuk el az S(X) halmazból az X-et. Ekkor az S(x)\{X} halmaz tartalmazza az üres halmazt és minden y elemére tartalmazza az S(y)-t, tehát P5 értelmében tartalmazza az összes természetes számot, ami ellentmondás, hiszen X-et nem tartalmazza, amiről a P6 axióma viszont állítja, hogy természetes szám.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 12:15:59

"Ebben az esetben szeretném, ha mutatna nekem egy olyan természetes számot, amiből a rákövetkezés műveletével megkapunk egy irracionális vagy egy végtelen nagy számot."

Sem irracionális, sem végtelen nagy számot nem kaphatunk, mert a definiált nulla elemből nem juthatunk a rákövetkezés műveletével csak természetes számot kaphatunk.

Azonban a határértékképzés műveletével kaphatunk végtelen nagy számot.
lim n (n -> ∞) = ∞
Ilyen egyszerű.
Ezt kiegészítjük a
∞ = ∞+1 azonossággal, és láthatjuk, hogy a végtelen megszámlálhatatlan számosságú. A határértékképzés viszont elengedhetetlen, ha a természetes számok sorozatát teljes egészben egy halmazban szeretnénk tudni. Határértékképzés nélkül ugyanis csak véges részhalmazait tudjuk előállítani a rákövetkezés műveletével.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 12:36:53

@measure41: "P5: Ha egy halmaz tartalmazza az üres halmazt, és minden x elemére tartalmazza S(x)-et is, akkor tartalmazza az összes természetes számot"

Vegyük észre, hogy csak a P5 axióma nevezi a természetes számokat halmaznak, ami teljesen indokolatlan, és teljesen indokolatlanul implikálja a határérték képzést, és a végtelen nagy számokat, amelyekkel nem is kellene foglalkozni a természetes számok kapcsán. Tehát már a P5 axióma szükségessé tesz a határérték képzést. Ugyanis egy sorozat minden tagjával elvégzendő műveletek (összeg,szorzás, unió,metszet) határérték képzést igényelnek, így a halmazba rakás művelete is.

Így szólna helyesen.

P5: Ha egy sorozat tartalmazza az üres halmazt, és minden x tagjára tartalmazza S(x)-et is, akkor tartalmazza az összes természetes számot.

Vegyük észre, hogy mennyire mást jelent a kettő. Ez utóbbi esetben nincs szükség határérték képzésre, és ebből kifolyólag a természetes számok sorozatának minden tagja véges.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 12:59:12

@measure41: A meglátásom szerint P6 axióma éppen a végtelen nagy számokat tiltja ki az X halmazból. Ez megtehető, bár körülményes. Az ellentmondás igazolás szerintem hibás, nem értem, mire akart kilyukadni. Ha az S hivatkozási lánc hiányos, akkor a halmaz nem lehet természetes szám.

measure41 2016.11.10. 14:17:33

@Takács Ferenc bp.:

Ahogy Ön is mondta: "rákövetkezés műveletével megkapunk egy irracionális vagy egy végtelen nagy számot."
A P6 axióma valóban nem állít olyat, hogy az X halmaz tartalmaz végtelen számokat, a P6 egyszerűen kimondja, hogy létezik végtelen természetes szám (és azt is megmondja, hogy melyik ez a halmaz), pontosan az, amit ön a "lim n (n -> ∞) = ∞" kifejezéssel tett meg. Ellenben S(X), S(S(X)), stb már mind újra természetes szám a P2 axióma szerint. Tehát az ön ∞ szimbóluma megfelel az én X halmazomnak, és a ∞+1 megfelel az S(X)-nek. Ebből a ∞ = ∞+1 azonnali ellentmondásra vezet, mert míg X nem tartalmazza saját magát, S(X) tartalmazza X-et, így a két halmaz nem lehet egyenlő, mert különbözőek az elemei, bár a számosságuk amúgy egyenlő, ellentétben azzal, amit Ön a bevezetőjében állít, mint ahogy azt már írtam is: vegyük pl a természetes számok halmazát, ekkor ha az f: S(N) -> N függvényt úgy definiáljuk, hogy minden n ∈ N-re f(n)=n+1 és f(N)=0 nyilvánvalóan bijekció.
A lényeg, ahhoz, hogy bevezesse a határértékképzés definícióját új axiómára van szüksége, de ez ellentmondásban van P5-el, ahogy azt fent bemutattam, persze, ha elmondja, hogy Ön szerint miért hibás az igazolás, azt szívesen meghallgatom.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 14:45:58

Szerintem a P5 és P6 alapjában ugyanazt állítja. A P6 kizárja még az esetleges irracionális számokat is, és X-nek nevezi a természetes számok halmazát.

A bizonyításban hiba, hogy S(x)\{X}={{X}} nem természetes szám, és így nem is tartalmazza az üres halmazt, csupán egy olyan halmazt, amely tartalmazza az üres halmazt.

measure41 2016.11.10. 15:09:14

Mivelhogy S(X)=X U {X} ezért S(X)\{X}=X (mert nem X elemeit hagyjuk el belőle, hanem magát az X halmazt mint elemet. Itt kicsit túlmagyaráztam, mert ez tulajdonképpen annyi, hogy X-re teljesülnek P5 feltételei, tehát tartalmaznia kellene az összes természetes számot, de magát nem tartalmazza, ami P6 szerint természetes szám, és itt következik az ellentmondás. Ha zavarja a "magát nem tartalmazó halmaz" kifejezés akkor tekintse az S(S(X))\{X} halmazt, erre is teljesülnek P5 feltételeiés X-et nem tartalmazza, de nem egyezik meg X-el, az ellentmondás ugyan úgy fönnáll.
P5 és P6 nyilvánvalóan nem ugyan azt állítja, mert míg P5, mint ahogy már említettem azt mondja ki, hogy 0-ból kiindulva megkapjuk a rákövetkezés műveletével az összes természetes számot, addig P6 azt állítja, hogy ha egy halmaz csak és kizárólag az összes olyan természetes számot tartalmazza, amiből a rákövetkezés művelettel a 0-ból megkapható (halmazelméleti értelemben), akkor ez a halmaz is természetes szám.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 15:23:00

"X-re teljesülnek P5 feltételei, tehát tartalmaznia kellene az összes természetes számot, de magát nem tartalmazza,"

Ebben nincs ellentmondás, ez összhangban van a végtelen definíciójával, miszerint az ekvivalens önmaga valódi részével. S(∞) = ∞.

"... akkor ez a halmaz is természetes szám."

Mivel az axiómái szerint minden természetes szám halmaz, amely a megelőző természetes számokat tartalmazza, így nem meglepő, ha a természetes számok halmaza is természetes szám. Bár más az axiómák megfogalmazása, a jelentésük ebben nem különbözik.

measure41 2016.11.10. 15:34:41

Egyrészt a végtelennek ilyen definíciója nem létezik, mert ez azt implikálná, hogy egy egyelemű részhalmazzal is ekvivalensnek kellene lennie (hiszen valódi része), de ez nyilván elírás, azt akarta írni, hogy létezik olyan valódi része, mellyel ekvivalens. Ellenben, mivel halmazok, akkor egyenlőek, ha azonosak az elemei, nem akkor, ha ekvivalensek.
Az axiómák nem azt mondják ki, hogy minden természetes szám halmaz, amely tartalmazza a megelőző természetes számokat, hanem azt, hogy ha n természetes szám, akkor S(n) is természetes szám, ami nagy különbség. Ezért kell a határértékdefiníciójához a P6 axióma, mely kimondja, hogy igen, ezek a halmazok is természetes számok, de mint megmutattam ez ellentmondásban van P5-el.
Az S(∞) = ∞ tarthatatlanságát az mutatja, hogy ha egy P7 axiómával definiáljuk azt a halmazt, ami tartalmaz minden véges természetes számát is, és a ∞-t is, illetve ennek minden rákövetkezőjét, akkor újabb értelmes halmazhoz juzunk, lényegében megint a határértékképzéssel, melynek a számossága már nagyobb mint a ∞-é.

measure41 2016.11.10. 15:35:53

Amúgy megjegyezném, hogy a másik cikke alatt azt írta, hogy a végtelenről nem lehet határérték nélkül beszélni, ellenben az előbb Ön éppen ezt tette.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 16:09:19

X és S(X) ekvivalensek, ezért X számosság végtelen, de egyenlők is, mivel nincs olyan elemük, amely nincs meg a másikban. X = S(X)

"Az axiómák nem azt mondják ki, hogy minden természetes szám halmaz, amely tartalmazza a megelőző természetes számokat, hanem azt, hogy ha n természetes szám, akkor S(n) is természetes szám, ami nagy különbség."

Erre a különbségre azt mondjuk, hogy alternatív, ekvivalens megfogalmazása az axiómáknak.

"Amúgy megjegyezném, hogy a másik cikke alatt azt írta, hogy a végtelenről nem lehet határérték nélkül beszélni, ellenben az előbb Ön éppen ezt tette."

Természetesen a végtelennek számos tulajdonsága van, olyan is amelyet már a határértékképzés előtt ismertek, de a határértékképzés tisztázta azokat a kérdéseket, amelyek korábban zavarosak voltak a végtelennel, vagy a folytonossággal, kalkulussal kapcsolatban.

measure41 2016.11.10. 16:20:02

"nincs olyan elemük, amely nincs meg a másikban"??
S(X)=X U {X} magyarán S(X) elemei éppen X elemei és még elemként szerepel benne az X halmaz, ami viszont nem eleme saját magának.

A két megfogalmazás merőben különböző, mert míg P5 azt mondja ki, hogy minden természetes számhoz eljuthatunk a 0-ból a rákövetkezés műveletével, addig P6 azt, hogy létezik a 0-n kívül olyan természetes szám, ami viszont egyik természetes számnak sem rákövetkezője (ez mond ellent P5-nek), és ezen kívül azt is megfogalmazza, hogy ennek a halmaznak, mint "természetes szám" mik az elemei.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 16:23:19

Tehát a hagyományosan használt n eleme N bevezetések helyett (ahol N a természetes számok halmaza, ugyanilyen korrekt módon használhatjuk, hogy n eleme ∞. De nem árt hozzátenni, hogy n < ∞, hogy csak a véges számokra szűkítsük a folytatást.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 16:27:28

"P6 azt, hogy létezik a 0-n kívül olyan természetes szám, ami viszont egyik természetes számnak sem rákövetkezője"

Ezt én nem tudom kiolvasni P6-ból. Talán el van írva.

measure41 2016.11.10. 16:34:12

@Takács Ferenc bp.:
Ez abból következik, hogy az üres halmazból kiindulva az S operáció mindig olyan halmazokat ad, melyeknek van olyan eleme, melynek a rákövetkezőjét már nem tartalmazza. Ezzel szemben X-nek nincs ilyen eleme, mert minden elemének a rákövetkezőjét is tartalmazza, tehát nem állítható elő semmilyen másik elem rákövetkezőjeként.

measure41 2016.11.10. 16:39:55

Mivel a megszámlálható számosságot szokták azonosítani a természetes számok halmazával, ezért akár jogos is lehetne n ∈ ∞ jelölés, de P5 miatt az n < ∞ kikötés felesleges.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 17:03:48

Ez a P6 elég zavaros. Tévesen feltételezed, hogy a végtelen az egyetlen abnormális szám, amelynek nincs rákövetkezője. Szó nincs erről. A végtelen az megszámlálhatatlan sok végtelen szám, amelyek ugyan egymásra következnek, de nem lehet rajtuk rendezést definiálni. Mindegyiknek van rákövetkezője, és mindegyik egy másik végtelen nagy számra következik. A természetes számoknak nem egyetlen utolsó eleme van, hanem megszámlálhatatlanul sok.

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 17:15:18

"de P5 miatt az n < ∞ kikötés felesleges."

A P5 miatt a természetes számok halmaza tartalmazza a ∞ számokat is, éppen ez a probléma a természetes számok halmazként való kezelésének.

measure41 2016.11.10. 17:25:19

@Takács Ferenc bp.:
Semmi hasonlót nem feltételeztem, sőt említettem is, hogy további ilyen halmazokat lehet meghatározni a P6 axiómához hasonlóan.
Az alap rendezésünk ugyebár az, hogy A < B, ha A ∈ B, és ezzel a rendezéssel sincs is semmiféle gond a véges esetben, A és S(A) még tartja, hogy S(A) számossága nagyobb mint A számossága. Mint az előbb írtam, végtelen halmazok esetén ez már nem igaz, egy végtelen halmaz, és annak rákövetkezője között létezik bijekció, így a számosság intuitív tulajdonságának már nem tesz eleget, ezért zárjuk ki a számosság fogalmából azokat a halmazokat, melyek végtelen előállnak rákövetkezőként, és nem végesek. De ha vesszük azt a halmazt, amit úgy kapunk, hogy az üres halmaz és minden rákövetkezőjét tartalmazza, és a legkisebb végtelen számosságot és annak minden rákövetkezőjét tartalmazza, akkor erre igaz lesz, hogy minden előbbi számosság eleme lesz neki, így a rendezés tartható, illetve ez már tudja azt, hogy a számossága (klasszikus értelemben) nagyobb mint az X számossága.

measure41 2016.11.10. 17:28:57

@Takács Ferenc bp.:
Egy pár cáfolatot már adtam arra, hogy P5ből pont, hogy az következik, hogy nem tartalmazza a végtelen számokat, és ezekre az érveléseimre eddig még Ön az, aki nem adott cáfolatot. P5 szerint a nullából minden természetes számhoz eljuthatunk a rákövetkezéssel, ellenben már ön is mondta, hogy a végteleneket így nem kaphatjuk meg. Legyen szíves vezesse már le nekem, hogy hogyan következik P5-ből, hogy a természetes számok halmazának eleme a végtelen! Nyilvánvaló ellentmondásban áll P5-el...

Takács Ferenc bp. 2016.11.10. 18:29:06

Nem értem P6 definícióját, az szerintem az S() véges sok alkalmazása miatt a legnagyobb véges természetes számot nevezi meg.
Nem értem miért mondja, hogy cáfolatot adott, hogy P5-ből nem következnek a végtelen számok. Nem vettem észre ezt a cáfolatot.
Én a rákövetkezés műveletére (P2) mondtam, hogy nem juthatunk el vele a végtelenbe. Viszont a minden természetes számok halmazának emlegetése implikálja a határérték képzést, ami miatt egy másik világba csöppenünk. P5 állítja, hogy van minden természetes számot tartalmazó halmaz.
Jó estét!

measure41 2016.11.10. 18:55:27

A P6 azt mondja ki, ha egy halmaz tartalmazza az üres halmazt, és minden elemének tartalmazza a rákövetkezőjét, és nincs az üres halmazon kívül olyan eleme, ami nem állna elő egy másik elemének a rákövetkezőjeként, akkor ez a halmaz természetes szám. Ez a halmaz nyilván nem áll elő S alkalmazására egyik más természetes számból sem, mert azoknak van legnagyobb elemük, ennek a halmaznak pedig nincs, mert minden elemének a rákövetkezőjét is tartalmazza. Így "definiáltam" egy darab (legkisebb), természetes számot ez egyenértékű az ön által a véges természetes számokból határértékként definiált fogalommal.
Cáfolataimat például a 2016.11.10. 00:41:50 és 2016.11.09. 21:28:04 hozzászólásaimban tettem.
De talán rájöttem, hogy miből fakad az értetlensége. Ahogy korábban már jeleztem, az axiómák, nem definíciók, csupán leírják a természetes számok tulajdonságait. Tehát nem definiálja a 0-t, és akkor ebből konstruálja meg a rákövetkezéssel a többi számot, hanem általánosan tesz kijelentéseket egy adott halmazról, és egy azon értelmezett függvényről. Mely állítások persze bizonyos halmazokra igazak, és bizonyosakra pedig nem. A P5 axióma nem azt jelenti, hogy ha a 0 és annak összes rákövetkezője benne van, akkor az a természetes számok halmaza, csupán annyit, hogy ha ezek benne vannak, akkor a természetes számok halmaza részhalmaza ennek a halmaznak. Tehát lehet olyan halmazokat adni, amiben benne vannak a 0 és annak minden rákövetkezője, és még akár lehetnek benne mindenféle végtelen számnak nevezett objektumok, csupán annyit állít, hogy ennek a halmaznak részhalmaza a természetes számok halmaza. Ellenben, ha vesszük azt a halmazt, ami csak és kizárólag a 0 és annak minden rákövetkezőjéből áll, akkor ez is tartalmazza az összes természetes számot, és P1 és P2 értelmében minden eleme természetes szám is, tehát meg is egyezik a természetes számok halmazával.

Takács Ferenc bp. 2016.11.11. 11:19:21

@measure41: 2016.11.09. 21:28:04 "Legyen A a természetes számoknak azon részhalmaza, amely pontosan a végtelen természetes számokat tartalmazza. Ekkor mivelhogy a természetes számok minden részhalmazának létezik legkisebb eleme, tehát A-nak is, jelöljük ezt x-el. Mivel P5 szerint 0-ból a rákövetkezés műveletével minden természetes számhoz eljuthatunk, .."

Nem juthatunk el a rákövetkezés műveletével a végtelen számokhoz. Minden végesre véges következik. Csak a határértékben jelennek meg a végtelen nagy számok.

"A P5 axióma nem azt jelenti, hogy ha a 0 és annak összes rákövetkezője benne van, akkor az a természetes számok halmaza, csupán annyit, hogy ha ezek benne vannak, akkor a természetes számok halmaza részhalmaza ennek a halmaznak."

Ennek nincs jelentősége. Mivel a rákövetkezés művelete végesből végeset állít elő, ezért nem állítható elő az összes természetes szám ezen az úton. Az összes természetes szám csak a határértékben tud létezni, de ebben már a végtelen nagy számok is megjelennek.

measure41 2016.11.11. 11:50:02

@Takács Ferenc bp.:
Milyen határértékről beszél? Definiálja legyen szíves, hogy mit ért határérték alatt! Ahogy ön is mondta, az ön felfogásában pontosan az a határértékképzés, mint amit mindenki más is ismer (van egy sanda gyanúm, hogy a metrikus terekben értelmezett konvergenciára gondol) ebben az esetben nem állja meg a helyét. Ugyanis ön egyszerűen kimondja, hogy lim n (n -> ∞) = ∞, ez nem határértékképzés, hanem egy újabb axióma (pontosan az, amit én P6-nak neveztem). A határérték nem egy konstruktív definíció, adott egy tér, és egy sorozat ennek az adott térnek egy adott pontjához konvergál, ha... (és itt jön a szokásos definíció) Nem állít elő a térben új pontot. Maximum metrikus terekben a teljessé tételre lehet úgy beszélni, mint a határérték egy konstruktív fogalom lenne, de valójában ezek a sorozatok, aminek így definiáljuk a határértékét nem konvergensek az eredeti térben, csupán jeljesítik a Cauchy tulajdonságot.
Formálisabban megfogalmazva az axiómák:
P1: 0 ∈ N
P1: Ha n ∈ N, akkor n+1 ∈ N
P3: Nem létezik olyan n ∈ N, hogy n+1=0
P4, ha n+1 = m+1 akkor n=m
P5, ha 0 ∈ X és ha x ∈ X, akkor N ⊂ X

Hogy ne lenne ennek jelentősége? Ha azt mondjuk, hogy legyen A az a halmaz, aminek elem a 0 és minden elemét megkaphatjuk a 0-ból a rákövetkezéssel iterálásával (tehát természetesen minden elemének tartalmazza a rákövetkezőjét is), akkor ez a halmaz P5 értelmében N ⊂ A, és mint az előbb is említettem ennek a halmaznak P1 és P2 miatt minden eleme egyben természetes szám is (azaz A ⊂ N), így a két tartalmazásból következik, hogy A=N, és ebben a halmazban egy darab végtelen objektum nincs (hiszen, ahogy már ön is mondta, hogy a rákövetkezéssel nem kaphatjuk meg a végtelen objektumokat, és ebben a halmazban csak olyan elemek vannak, amiket így kaptunk meg). Legyen szíves mutasson rá, hol hibádzik az érvelésem.

measure41 2016.11.11. 11:51:24

@measure41:
Természetesen az előbb P5 így néz ki:
P5: (ha 0 ∈ X és ha x ∈ X, akkor x+1 ∈ X) akkor N ⊂ X

measure41 2016.11.11. 11:55:19

Tehát, végeredményben a P5 pontosan azt mondja ki, hogy a 0 kivételével az összes természetes szám előáll a rákövetkezés műveletével.

Takács Ferenc bp. 2016.11.11. 13:05:11

@measure41: Frissítettem a cikket. Leírom, hogy milyen határérték képzésre van szükség. Lehetséges, hogy újabb axiómákra is szükség van a hozzá, de az már nem a számelmélet területe. A számelmélet jól elvan a véges számok sorozatával, és nincs szüksége sem a természetes számokat tartalmazó halmazra, sem a végtelen számokra. Sőt a P5 axióma is fölösleges.

"A határérték nem egy konstruktív definíció, adott egy tér, és egy sorozat ennek az adott térnek egy adott pontjához konvergál, ha... (és itt jön a szokásos definíció) Nem állít elő a térben új pontot."

Ez így igaz. Az irracionális számokat nem tudjuk előállítani, ahogyan a végtelen nagy számokat sem. Csak közelíteni tudunk hozzá sorozatokkal, és ebből tudjuk, hogy vannak.

measure41 2016.11.11. 13:21:02

Láttam a frissítést, de ez még mindig nem határértékfogalom, csupán axiomatizálja a végtelen szám létezését. Valóban, amennyiben bevezetjük a végtelen számokat, az már nem a számelmélet területe (de mivel kétséget kizárólag megmutattam, hogy a természetes számok halmaza létezik, és azon minden eleme természetes szám (melyek végesek), és erre nem adott cáfolatot, csupán annyit mondott, hogy nincs jelentősége, tehát hallgatólagosan elismerte, hogy állításom igaz) Viszont a számelmélethez szükség van a P5 axiómára, hiszen például enélkül nem jelenthetnénk ki, hogy egy teljes indukcióval bizonyított szám minden természetes számra igaz, mint ahogy korábban mutattam olyan halmazokat, amikre igaz az első 4 axióma, de banalitás lenne azt mondani, hogy azok a természetes számok halmazai. Az Ön által megfogalmazott elmélet, mint már mondtam, tulajdonképpen létezik (rendszámok és számosságok), de ez nem egyenértékű a természetes számokkal, bár bizonyos részei azonosíthatóak velük)

measure41 2016.11.11. 13:30:22

"Ez így igaz. Az irracionális számokat nem tudjuk előállítani, ahogyan a végtelen nagy számokat sem. Csak közelíteni tudunk hozzá sorozatokkal, és ebből tudjuk, hogy vannak."
Ez az állítás sem állja meg a helyét. Azt hiszem abban egyertértésre jutunk, hogy a racionális számokat "elő tudjuk állítani" úgy mint két természetes szám hányadosa. Ellenben azt nem mondhatjuk, hogy egy az irracionális számokat tudjuk közelíteni, mert ha mi a racionális számok halmazán dolgozunk, nincs értelme azt mondani, hogy egy ilyen szám konvergál, közelít valamihez, ami nincs benne a halmazban, mert ehhez kell a halmazon értelmezett távolságfogalom, és nem létező elemtől nem tudunk távolságot mérni. A Valós számok esetében a Cantor axióma biztosítja, hogy a valós számok halmaza teljes, azaz minden Cauchy sorozat konvergens is.

Takács Ferenc bp. 2016.11.11. 14:20:09

"nincs értelme azt mondani, hogy egy ilyen szám konvergál, közelít valamihez, ami nincs benne a halmazban,"

Ez megközelítés kérdése. Alkalmas kritérium választással nehéz olyan sorozatot találni, amely nem konvergál. A racionális számok sem léteznének, ha csak a képzésükhöz használt egész számok sorozatát fogadjuk el számokként. A valós számok halmaza is csupán fikció lenne, ha nem adnánk esélyt a sorozatok határértékeinek létezésére. Ezek a definíciók is tehát különböző matematikai létformákat jelentenek, amelyek nem univerzálisak.

measure41 2016.11.11. 14:36:06

@Takács Ferenc bp.:
Senki nem mondta, hogy létezik olyan, hogy valós szám, vagy racionális szám, ezek absztrakciók, létezésük feltételezése kő kemény idealizmus. Csupán a valóságot szemlélve bizonyos empirikus adatokból származó tulajdonságok formalizálása. Viszont, hogy megközelítőleg helyes feltételezésen alapulnak, azt igazolja, hogy tökéletesen alkalmazhatóak a gyakorlatban. De ez, mint mondtam filozófia, és nem matematika. A valós számok esetében az irracionális számok létét nem a határérték definíciója okozza, hanem az előbb említett Cantor axióma. És igen, a határérték erősen függ a metrikától, de amennyiben ez a megállapodás megszületik (a vizsgálat tárgyától függően), onnantól kezdve csak és kizárólag ennek fényében beszélhetünk határértékről. Nyilván nem univerzális létformákat jelentenek, gondoljunk csak az euklideszi illetve a nem-euklideszi geometriák geometriákra. Nyilván egymásnak ellentmondanak, mégis megférnek egymás mellett. De maradva a racionális számok halmazánál. Nem megközelítés kérdése, hogy azok a sorozatok, amelyek a valós számok halmazán egy irracionális számhoz tartanának, konvergensek e, vagy sem, a határérték definíciója szerint ezek a sorozatok a racionális számok halmazán nem konvergensek.
Ellenben csak az utolsó hozzászólásomra reagált, ami csak kiegészítése volt az azt megelőzőnek, ami közvetlenül a tárgyhoz tartozik.

Takács Ferenc bp. 2016.11.11. 15:10:07

"az irracionális számok létét nem a határérték definíciója okozza, hanem az előbb említett Cantor axióma."

Súlyos tévedés. A püthagoreusok azon felfedezése bizonyítja létüket, hogy rájöttek; a gyök kettő nem racionális. A többi már csak díszítés.

Csak azt hiszi, hogy megmutatta a természetes számok halmazának létezését.

Arra mondtam hogy nincs jelentősége, hogy P5 konstruálni akarja a természetes számok halmazát, vagy csak kijelenti, hogy az adott tulajdonságú halmaz tartalmazza ezt a halmazt. Legalább is abból a szempontból mindegy, hogy mindkét eset szükségessé teszi a határérték képzés elvégzését, amennyiben feltételezzük, hogy egy ilyen halmazzal dolgozunk. Csak akkor állíthatunk olyat, hogy egy halmaz tartalmazza egy sorozat minden tagját, ha a tagok végtelen unióját vesszük, ami tartalmazza a határérték képzést.

A teljes indukció megfogalmazásához nincs szükség körmönfont kerülőkre, halmaz kifejezésekre. Meg kell fogalmazni, és kész. Ez már az általános iskolában is működik. A teljes indukció sorozatokra vonatkoztatható, és nem halmazokra.

measure41 2016.11.11. 17:13:32

@Takács Ferenc bp.:
A gyök kettő irracionalitásának bizonyítása csupán annyit állít, hogy HA létezik olyan szám, aminek a négyzete egyenlő kettővel, akkor ez nem lehet racionális, de ezen számok létezését akkor is a Cantor axióma biztosítja.

Amennyiben csak azt hiszem, hogy bizonyítottam, mutassa meg melyik lépés hibás:

0. lépés: Beszélhetünk a természetes számok halmazáról, mert mint ön állította, a naiv halmazelmélettel nincsen semmi probléma, tehát beszélhetünk olyan halmazról, ami pontosan bizonyos tulajdonságokkal rendelkező elemeket tartalmaz, illetve a az axiomatikus halmazelmélet is megengedi olyan konstrukciót, melyre igazak az Peano axiómák.

1. lépés: Az axiómák megfogalmazása:
P1: 0 ∈ N
P1: Ha n ∈ N, akkor n+1 ∈ N
P3: Nem létezik olyan n ∈ N, hogy n+1=0
P4: ha n+1 = m+1 akkor n=m
P5: (ha 0 ∈ X és ha x ∈ X, akkor x+1 ∈ X) akkor N ⊂ X

2. lépés: Legyen A az a halmaz, melyre 0 ∈ X és ha x ∈ X, akkor x+1 ∈ X, és minden elemére teljesül, hogy a 0-ból a rákövetkezés műveletével eljuthatunk.

3. Lépés: P5 szerint, N ⊂ A.

5. Lépés: Mivel A eleme vagy a 0, amely P1 szerint természetes szám, vagy olyan, ami egy természetes szám rákövetkezője, így minden eleme természetes szám, tehát A ⊂ N.

6. lépés: Mivel N ⊂ A és A ⊂ N ezért A=N. Tehát az összes természetes szám olyan, mely a 0-ból a rákövetkezés iterálásával megkapható (és mint Ön is mondta a végtelen a rákövetkezéssel nem megkapható, így nem is lehet természetes szám)

A Teljes indukció elve a következő:
Adott egy állítás, melynek igazságértéke a természetes számok függvénye, jelölje ezt A(n).
Amennyiben A(0) igaz, és minden k természetes számra igaz, hogy A(k) igazságából következik A(k+1) igazsága, úgy minden n természetes számra A(n) is igaz.
Nem állíthatnánk, hogy minden természetes számra igaz az állítás, ha nem kaphatnánk meg minden természetes számot a 0-ból a rákövetkezés iterálásával, mert pont azt állítja, hogy ha igaz az A állítás a 0-ra, és ha igaz egy természetes számra, akkor a rákövetkezőre is, akkor igaz minden olyan természetes számra, melyet megkaphatunk a rákövetkezés iterálásával a 0-ból. Nem lehet csak úgy "megfogalmazni, és kész", hiszen már az elv kimondásában szerepel a természetes szám fogalma.

Takács Ferenc bp. 2016.11.14. 09:32:53

A gyök kettő irracionalitása azt bizonyította, hogy a négyzet átlója nem racionális, tehát LÉTEZNEK ilyen számok. Ahogyan azt is tudták, hogy mely téglalapok átlóit lehet, illetve nem lehet racionális arányokkal leírni (pithagoraszi számhármasok). Az oldalak hossza nem befolyásolja a téglalapok egzisztenciáját.

A 2. lépés az axióma megismétlése a 'ha 'szó felcserélésével 'legyen'-re. Ez nem konstrukció. Az A halmaz nincs megkonstruálva. P2 szerint a rákövetkezés definiálva van végtelen esetre, de nincs definiálva, hogy ez a végtelenség hogyan tud befejeződni. Enélkül pedig a definíció nem teljes, a P5 egy olyan eshetőséget vet fel, amelynek megvalósíthatósága nincs sehol definiálva.

A halmaz definiálására a végtelen unió kínálja az egyetlen ismert lehetőséget. Ez pedig a végtelen nagy számokat is a halmazba teszi a határértékképzés megjelenése miatt.

Teljes indukció: Egy sorozaton értelmezett logikai értéket szolgáltató függvényt bizonyításnak nevezünk, ha a logikai érték a sorozat minden tagjára azonos. Ehhez elegendő a sorozat első tagjára meghatározni a logikai értéket, valamint azt bizonyítani, hogy a rákövetkező elemre áttérés nem változtatja meg ezt a logikai értéket.

measure41 2016.11.14. 12:40:10

@Takács Ferenc bp.:
Ahogy minden geometriai objektum, a négyzet is absztrakció, semmi sem bizonyítja, hogy a valóságban létezik olyan objektum, ami eleget tesz a négyzet definíciójának, tehát ez csupán annyit magyaráz, hogy az euklideszi geometria tárgyalásához szükség van az irracionális számok bevezetésére. Arról nem is beszélve, hogy a fizika jelen állása szerint a világot nem lehet leírni euklideszi geometriával, maximum lokálisan jól közelíti. De ez még mindig semmit nem változtat azon a tényen, hogy a valós számok axiomatikus tárgyalásához szükség van a Cantor axiómára, ami biztosítja az irracionális számok létét.
Ez az egész arra hasonlít, mint ha azt mondanánk, hogy a képzetes számok azért léteznek, mert a gyök -1 nem lehet valós szám. Az már egy másik kérdés, hogy konzisztens elmélet állítható fel ezek bevezetésével, de alapvetőleg csak annyit tesz, hogy az adott struktúrán nincs értelme a műveletnek minden elemre.

Senki nem is mondta, hogy konstrukció, csupán egy olyan fogás, amit a naiv halmazelmélet megenged (és az axiomatikus is). Egy halmazt egyértelműen meghatároznak az elemei, tehát ha mindenről egyértelműen meg tudom mondani, hogy eleme egy halmaznak, vagy nem, akkor az egyértelműen meghatározza a halmazt. A "véges természetes számok" létét ön sem tagadta, csupán kijelentette egyik cikkében, hogy az nem halmaz, mindenféle indoklás nélkül.

A bizonyításnak szintén megvan a maga definíciója a matematikai logikában (aminek a hozzászólásai alapján nem elképzelhetetlen, hogy az alapjaival sincs tisztában). Az meg egyszerűen nem igaz, amit utána az indukcióról állít, vannak példák, amikor A(0) nem igaz, vagy akár A(1), A(2), stb, de egy rögzített k-tól már A(k) mind igazm és ez nem történhetne meg, ha a "rákövetkező elemre áttérés nem változtatja meg ezt a logikai értéket". A lényege pont az, hogy azt látjuk be, hogy minden ktermészetes számra igaz, hogy ha A(k) akkor A(k+1) is igaz, függetlenül még A(0) igazságától, de ha ez a kettő együtt teljesül akkor minden természetes számra A(n) igaz lesz.
Ön nem érvel, nem bizonyít, csak állításokat tesz, és állításait semmilyen logikai láncal nem támasztja alá.
Ezen cikke frissítésébe is képes volt egyetlen mondatban orbitális ellentmondást állítani:
"Az egyetlen művelet amellyel a természetes számok bármelyikét elérhetjük az a rákövetkezés művelete, de az, mint látjuk alkalmatlan arra, hogy minden természetes számot elérjünk" Most vagy ez az egyetlen, és akkor alkalmas, vagy nem az egyetlen.
Érveim cáfolatát is legtöbbször elintézte úgy, hogy "Ön csak hiszi" vagy "nincs igaza", vagy ha próbálkozott valamivel, abból is csak az derült ki, hogy az elemi halmazműveletekkel sem bánik készségszintűen, és miután erre rávilágítottam, hogy az, amit ön a bizonyításomban hibának vélt, nem hiba, csak annyit mondott, hogy lényegtelen.
Jelenleg az elméletét így lehetne megfogalmazni:
"Léteznek végtelen természetes számok, mert Én azt mondom, de mivel a rákövetkezés műveletével ezek nem érhetőek el, létezik egy határértékfogalom, amiről nem mondom meg, hogy micsoda, de következik az axiómákból azért, mert Én azt mondom."

Az index fórumon írta: "Én nem vagyok jártas a matematikai nyelvészetben". Na már most, ha valaki nem tud dánul, akkor az hiába is próbál meg dán regényt írni, az nem lesz se dán, se regény, csupán egyszerű zagyvaság.

Takács Ferenc bp. 2016.11.14. 16:12:53

"Ahogy minden geometriai objektum, a négyzet is absztrakció, semmi sem bizonyítja, hogy a valóságban létezik olyan objektum, ami eleget tesz a négyzet definíciójának"

Azt azonban tudjuk, hogy olyan objektum biztos nincs, hogy Cantor axióma. A két absztrakció közötti több mint 2000 év viszont perdöntő.

Nem határoztuk meg egyértelműen a halmazt. Meghatároztuk az első elemét, és azt, hogy ha ismerjük valamely elemét, hogyan határozzuk meg a rákövetkező KÖZBENSŐ elemét. Nincs meghatározva, hogy hogyan határozzuk meg az utolsó elemét, sőt bizonyítottnak látjuk, hogy nincs is ilyen elem. Ezáltal a halmazunk alulhatározott. Nem felel meg az egyértelmű meghatározottság kritériumának. Emiatt nem is lehet halmaz. P5 csak felveti ennek lehetőségét.

A rögzített K-tól igaz f(n) állítások konvertálhatók nullától érvényes állításokká f(n-K).

Takács Ferenc bp. 2016.11.14. 17:09:17

Pontosítok. Nem a bizonyítást határoztam meg.
Teljes indukció: Egy sorozaton értelmezett logikai értéket szolgáltató függvény (számelméleti tétel) teljes indukciós bizonyításának nevezzük annak a bizonyítását, hogy a logikai érték a sorozat minden tagjára azonos. Ehhez elegendő a sorozat első tagjára meghatározni a logikai értéket, valamint azt bizonyítani, hogy a rákövetkező tagra való áttérés nem változtatja meg ezt a logikai értéket.

Takács Ferenc bp. 2016.11.14. 17:41:19

Állítás: Az egész számok sorozatát tartalmazó N halmaz tartalmazza az egész számok halmazát.
Bizonyítás teljes indukcióval:
1. Az N halmaz tartalmazza a nulla számot, és ha P5 szerint az összes többi rákövetkezőjét is tartalmazza, akkor az egész számok halmazát is.
2. Tegyük fel, hogy N tartalmazza az n. számot.
3. Az N halmaz tartalmazza az n+1. számot, és ha az összes többi rákövetkezőjét is tartalmazza, akkor az egész számok halmazát is.
4. ??? Ez a mellékmondat nem akar eltűnni. Ez a tétel nem bizonyítható teljes indukcióval.

5. Vegyük az egész számok sorozat tagjainak végtelen unióját, és íme N halmaz tartalmazza az egész számok halmazát. De határérték képzésről lévén szó tartalmazza a végtelen nagy számokat is.

measure41 2016.11.15. 13:28:21

A valós számoknak létezik többféle konstruktív felépítése is (végtelen tizedestörtek, Cauchy-sorozatok), illetve létezik az axiomatikus megközelítés, amely ekvivalens a fent említett konstrukciókkal, de sokkal egyszerűbbé teszi a vizsgálatukat. Senki nem állította, hogy a Cantor axióma objektum lenne, csupán egy olyan állítás, ami a valós számok azon tulajdonságát fejezi ki, hogy léteznek irracionális számok (Konstruktív esetben a valós számoknak a racionális sorozatok ekvivalenciaosztályait kellene tekinteni, sok dolog bevezetése sokkal bonyolultabbá válik)

A "rákövetkező tagra való áttérés" pontosan az, hogy ha A(k) igaz, akkor A(k+1) is igaz, minden k természetes számra, nem mond semmi mást, csak más megfogalmazást használ annak érdekében, hogy az Önnek nem tetsző rész explicit ne szerepeljen. (Az meg csak egy apró megjegyzés, hogy a számelmélet azért ennél sokkal bővebb terület)
"A rögzített K-tól igaz f(n) állítások konvertálhatók nullától érvényes állításokká f(n-K)."
Ez nyilván igaz, de ez is ellentétben van az Ön elképzelésével. Hiszen Ön (elrejtve, hogy ezt minden természetes számra igaznak kell legyen) csak azt mondja, hogy a "rákövetkezés művelete nem változtatja meg a logikai értéket", és amennyiben ez mégsem igaz, akkor beszéljünk másról, amire igaz.

A "véges természetes számok" létét Ön továbbra sem tagadja, csupán kijelenti, hogy nem halmaz, mert aluldefiniált, de, hogy miért, azt nem részletezi. A naiv halmazelmélet továbbra is megengedi a következőt:
A(n) logikai értékű függvény, ami pontosan akkor igaz, ha n "véges természetes szám", tehát az N={x: A(x)=igaz} jól meghatározott halmaz. Továbbmegyek, mivel az axiomatikus halmazelmélet szigorúbb kikötéseket tesz arról, hogy mi halmaz, és mi nem, mint a naiv halmazelmélet, tehát amennyiben lehetséges ezen halmaz megadása axiomatikusan, úgy a naiv halmazelmélet szerint is, márpedig lehetséges, ahogy azt már fentebb megmutattam.

Nem fogalmaz utolsó hozzászólásában sem egyértelműen:
"Az egész számok sorozatát tartalmazó N halmaz tartalmazza az egész számok halmazát."
Tartalmazás, mint elemeként, tehát maga a sorozat eleme az N halmaz,ank, vagy tartalmazás, mint részhalmaz, tehát a sorozat elemei az N halmaznak is elemei? (Egyébként gondolom természetes számokat akart írni.) Máskülönben, egy olyan állítást akar teljes indukcióval bizonyítani, amely nem felel meg, még az ön feltételeinek sem, mert az állítás nem "egy sorozat elemein" értelmezett logikai függvény igazságértékét akarja meghatározni minden elemre, hanem egy tőlül elkülönülő N halmazra.
Az 1. lépésben újra csak következetlenül használja a "tartalmaz" szót, mert a P5 továbbra sem azt mondja ki, hogy az N halmaz tartalmazza (elemként) a természetes számok halmazát, hanem, hogy minden természetes szám eleme az N halmaznak.
A 2. és 3. lépése nyilván az indukciós lépés lenne (de mint mondtam, az állításnak nincs köze a teljes indukcióhoz), illetve a 3. lépésben újra az "eleme" és a "részhalmaza" relációt egymással azonosnak tekinti. A 4. mondata egyszerűen értelmetlenség.

Végtelen unió. Nos, ez nem határérték a klasszikus értelemben, gondolom az "n egyenlő egytől végtelenig" jelölés téveszti meg, de ez a jelölés csupán annak az esetnek egyszerűsített jelölése, hogy U{A_i: i eleme I}, ahol I indexhalmaz, A_i, minden I eleme I-re halmaz, és ha I megszámlálható, helyettesíthető a természetes számok N halmazával. De ettől még U{A_i: i eleme I}={x: létezik i eleme I, hogy x eleme A_i}, namármost, ahogyan már korábban megtárgyaltuk, egyetlen kezdőszelet sem tartalmaz "végtelen természetes számokat", ennek az uniónak viszont minden tagja kezdőszelet, így az unió sem tartalmazhat ilyen objektumokat, és ezzel a módszerrel Ön is csupán a "véges természetes számok" halmazát kapta meg.

"A két absztrakció közötti több mint 2000 év viszont perdöntő", ezzel lényegében azt mondta ki, hogy a régi gondoltatok "igazabbak" az újaknál, tehát ezen logika alapján például a geocentrikus világkép "igazabb" a heliocentrikusnál, ami meg igazabb a jelenleginél, hiszen régebbi.

measure41 2016.11.15. 13:34:22

Arról nem is beszélve, hogy nagyon szereti használni a sorozat szót, amit soha nem definiált. Valószínűleg azért, mert tudja, hogy a természetes számok nélkül nem lehet, de amelyik problémáról nem beszélünk, az nincs is, ugyan úgy, ahogy a határértékfogalmát sem definiálta még egyetlen egyszer sem, csak annyit mondott, hogy ugyan azt érti rajta, mint bárki más, ezzel szemben a "bárki másféle" határértékkel szögesen ellentétben használja, például kijelenti, hogy limesz n tart végtelen egyenlő végtelen.

measure41 2016.11.15. 13:49:21

Harmadrészt, pedig ahhoz képest, hogy már megismerte "természetes számok valóságos természetét", a felmerülő problémákat igen gyakran csak ellentmondásosan tudta "megoldani", például, ön rendszeresen végtelen természetes számOKról beszél, majd kijelenti: ∞ = ∞+1 (melyről megmutattam, hogy a halmazelméleti modellel egyértelműen ellentmondásos), ezzel az Ön által határértékként felfogott végtelen természetes számból rákövetkezéssel csak saját magát tudja implikálni, így az innentől vett sorozat konstans, tehát "határértékképzéssel" sem tud újabb végtelen számokat "generálni", ami pedig ellentmondásban van a többesszámmal, és a megszámlálhatatlansággal.

measure41 2016.11.15. 19:34:42

Mindezektől eltekintve, most már, hogy többé kevésbé tudom, milyen fogalmakkal operál, jöjjön annak bizonyítása, hogy P5 ellentmond a végtelen nagy természetes számoknak.
1. lépés: Legyen X az Ön által elképzelt természetes számok halmaza, melynek létezését nem tagadja, csak azt állítja, hogy tartalmaz "végtelen természete számokat", de ettől még halmaz, tehát megfelel az "egyértelmű meghatározottság kritériumának".

2. lépés: Ön elismeri, hogy vannak olyan "végtelen természetes számok", ami nem kapható meg a rákövetkezés műveletével (ezért is van szüksége a "hatéárértékképzésre"). Tehát létezik az X halmaznak ilyen y eleme.

3. lépés: P5-öt teljesíti az X halmaz, hiszen úgy indítottunk, hogy X maga a természetes számok halmaza, tehát P1 és P2 is teljesül X-re, azaz tartalmazza a 0-t, és minden elemének létezik rákövetkezője, így tartalmazza az összes természetes számot (azaz a természetes számok halmaza részhalmaza X-nek, ami nyilvánvaló, hiszen feltettük, hogy X a természetes számok halmaza, tehát nem csak részhalmaza, hanem egyenlő is vele.

4. lépés: Legyen Y az a halmaz, amit úgy kapunk, hogy X-ből elhagyjuk az y elemet, azaz Y=X\{y}. Ha X halmaz volt, ez nyilvánvalóan halmaz, de ezt is túlragozhatjuk: Legyen A(x) az a logikai függvény, ami pontosan akkor igaz, ha x eleme a természetes számok halmazának. (Továbbra is szem előtt tartva, hogy mivel X Ön szerint is halmaz, tehát megfelel az "egyértelmű meghatározottság kritériumának", tehát az A(x) szintén, így Y-t így is írhatjuk: Y={x: A(x)=igaz és x nem egyenlő y}, ami továbbra is, ha jólmeghatározott. Tehét, Y szintén halmaz.

5. lépés: Y teljesíti P5 feltételét, mert egyrészt tartalmazza a 0-t, hiszen X tartalmazta a 0-t, és Y definiálásánál a 0-t nem hagytuk el belőle, ugyan így tartalmazza minden elemének a rákövetkezőjét is, mert y X-ben olyan elem, ami semmilyen másik elemnek sem a rákövetkezője, tehát Y is tartalmazza az összes természetes számot, azaz részhalmaza a természetes számok halmazának.

6. Lépés. y természetes szám, mert eleme a természetes számok X halmazának, viszont Y nem tartalmazza y-t, tehát az összes természetes számot sem tartalmazza, hiszen konkrétan egy adott természetes számról meg tudtuk mutatni, hogy nem eleme.

Konklúzió: Tehát Y-nak P5 miatt tartalmaznia kellene az összes természetes számot, de ezzel ellentétben ez mégsem igaz. Ezen ellentmondást az alapfeltételezésünk okozza, miszerint létezik végtelen nagy természetes szám. Ugyan ez az ellentmondás fellép, ha megengedünk bármilyen olyan elemet, amit nem kaphatunk meg a 0-ból a rákövetkezés segítségével. Az ellentmondás csak akkor kerülhető el, ha X azzal a halmazzal egyezik meg, amit én fentebb leírtam, melyet Ön nem fogad el halmazként.
Pedig bizony, bármennyire is szeretné, valójában megfelel a "egyértelmű meghatározottság kritériumának", hiszen mindenről el lehet dönteni, hogy a 0-ból a rákövetkezés műveletével el lehet e jutni, vagy nem. Nyilván egy háromszög esetében a válasz "nem", a 2536 esetében pedig "igen" a válasz.
A végtelent is elég érdekesen kezeli, egyszer teljesen magától érthetőnek veszi, és határértékképzésre hivatkozik, meg megszámlálhatatlanul végtelen természetes számok halmazáról, majd, amikor egy az Ön elméletébe nem passzoló végtelen halmazról lenne szó, már azt hozza elő érvnek, hogy "hogyan határozzuk meg az utolsó elemét, sőt bizonyítottnak látjuk, hogy nincs is ilyen elem". Miért kéne ilyen elemnek lennie? Végtelen elemszámú halmazok esetében bizony előfordul, hogy nincs utolsó eleme, ugyan úgy, ahogy az Ön képzeletében a végtelen nagy természetes számoknak sincs legnagyobbika.

Mindenesetre kíváncsian várom, hogy megmutassa, a fenti bizonyításban hol hibáztam.

Takács Ferenc bp. 2016.11.16. 09:40:53

"Senki nem állította, hogy a Cantor axióma objektum lenne, csupán egy olyan állítás, ami a valós számok azon tulajdonságát fejezi ki, hogy léteznek irracionális számok"

Ugyanezen ok miatt minősítette alkalmatlannak az ógörögök bizonyítását a gyök kettőről.

Másrészről nincs Cantor axióma. Igen sajátos, hogy ez Magyarországon kevésbé ismert. Cantor-féle közösrész-tétel van, amelynek többféle bizonyítása is van, illetve van a Cantor-Dedekind axióma a valós számok, és a geometriai számegyenes megfeleltethetőségéről, amit valójában René Descartes tett meg sok száz éve.

Látom kezd feltűnni önnek is, hogy szándékaim szerint következetesen a természetes számok sorozatának tagjairól beszélek, és nem a természetes számok halmazának elemeiről. Ez nem is lehet másként, mert előbb lehetséges a sorozatot definiálni, és csak azután a sorozatot magába foglaló halmazt. Sajnos a jelenleg használt axiómarendszerekben ez a szándék nem valósítható meg következetesen. Ezért kezdtem bele egy új axiómarendszer felépítésébe a legújabb cikkemben. Amíg nem érti meg, hogy a növekvő véges számosságú halmazok SOROZATÁBÓL származtatjuk a természetes számokat, addig csak elbeszélünk egymás mellett. Az már egy újabb asszociáció, hogy ezt a sorozatot hogyan akarjuk beszuszakolni valamely halmazba, és semmi köze a természetes számokhoz.

Takács Ferenc bp. 2016.11.16. 14:58:24

2. lépéshez: Nem csak létezik ilyen y elem, de megszámlálhatatlan sokaságú is.
3. lépéshez: Nem áll fenn az egyenlőség, csak a tartalmazás. X tartalmazza a természetes számokat.
4. lépéshez: Y=X\{y} csak azzal a kiegészítéssel, hogy y az összes végtelen nagy számot jelenti.
6. lépéshez: y nem természetes szám(ok), mert nem a rákövetkezéssel került(ek) az X halmazba, hanem határérték képzéssel.
A konklúzió hibás. Helyesen: Y, és X is tartalmazza a természetes számokat, de X a végtelen nagy számokat is. Y-nak nincs utolsó eleme, X-nek megszámlálhatatlan számosságú utolsó eleme van. Y nem szabályos zárt halmaz, hanem nyílt, így számossága se értelmezhető.

Takács Ferenc bp. 2016.11.16. 15:18:32

Sorozatokkal több fajta művelet végezhető, amelyeknek két fő csoportját kell megkülönböztetni.

1. Egy, vagy több sorozatot kombinálunk egy sorozattá valamely összerendelés szerint. Ekkor az értelmezési tartomány és az értékkészlet is sorozat. Az összerendelés a kiindulási sorozat tagok indexei szerint tagonként határozza meg az új sorozatot.

2. A kiindulási sorozat(ok) tagok/tagjainak összessége együtt határoz meg egy új objektumot, ami vagy egy szám (összeg,szorzat), vagy egy halmaz(tartalmazás,unió,metszet). Ekkor a sorozat határértékét felhasználva kell meghatározni az eredményt.

3. eset. A 2. esetet felhasználva definiálunk új sorozatot, ami valójában az 1. eset, de a 2. eset formalizmusával megadva. Ez mérhetetlen kavarodást okoz, mert későbbi hivatkozásoknál már nem derül ki, hogy az 1., vagy a 2. esettel van dolgunk.

measure41 2016.11.16. 20:44:54

Abban igaza van, hogy a (Valós számhalmazokra vonatkozó) Cantor-féle metszet -tétel és a Cantor axióma állítása megegyezik. Tételként csak a Felsőhatár axióma kimondásával bizonyítható, ami újra csak implicit kimondása annak, hogy léteznek irracionális számok. De ez nem változtat semmit, mert mindegy, hogy test és rendezési axiómákat a felsőhatár axiómával, vagy a Cantor és az Archimedesi axiómával egészítjük ki, ekvivalens elméletet kapunk, de az én meglátásom az, hogy az utóbbi két axióma szemléletesebb.
Mivel, mint kiderült, nem ismeri el, hogy létezne a természetes számoknak semmilyen halmaza, csupán olyan halmaz, ami tartalmazza a természetes számokat, meg még mindenféle egyebet is, így nyilván a bizonyítás többi része sem lehet irreleváns.
" Y nem szabályos zárt halmaz, hanem nyílt, így számossága se értelmezhető." Ugyan úgy, ahogy egy halmazon értelmezett környezetstruktúra nélkül határértéket sem lehet értelmezni, úgy a nyílt halmaz fogalmát sem, arról nem is beszélve, hogy nincs semmiféle kapcsolat aközött, hogy egy halmaz nyílt vagy zárt, illetve, hogy milyen a számossága, pontosan azért, mert önmagában egy halmazon nincs értelme a fogalomnak.
Sorozatokról beszél továbbra is, amit még mindig nem definiált. A sorozat a halmaznál sokkal bonyolultabb fogalom, és erősen kötődik a természetes számok fogalmához, és attól még, hogy ezt ön nem fogadja el/nem érti, ez így van.
Egy hét azt hiszem elég volt, hogy megpróbáljam meggyőzni, több időt és energiát nem szeretnék ráfordítani, de ne lepődjön meg azon, ha nem teljesül be a jóslata: "Ezek a gondolatok át fogják formálni a matematikát." Nem, nem fogják. Ennek a matematikához semmi köze, maximum annyi, hogy matematikai szakszavakat használ.

Takács Ferenc bp. 2016.11.17. 12:01:56

Valóban úgy látszik, már nem haladunk, így tegyük félre a vitát, amelyből egyébként sokat tanultam.