Leírás

(0,1,2,3,..) ≠ {0,1,2,3,...}
______________________
Ezek a gondolatok át fogják formálni a matematikát. De hogy miről szól a blog, azt az áttekintőben olvashatod. 2012 júliusa óta nem tudott senki cáfolatot adni. Ez már-már az igazolásom.
______________________
These ideas will be to shape the mathematics. But what I'm talking about the blog, you can read about it in the overview. Since July 2012 could no rebuttal. This is almost proof.

Friss topikok

A végtelen létra árnyéka

2013.04.26. 16:09 | Takács Ferenc bp. | 1 komment

Itt egyszerű ponthalmazok leképezése látható. Az egyik ponthalmaz a természetes számok kezdőszelet halmazai (N), a másik halmaz (V) a függőleges tengelynek támaszkodó egyenes egész koordinátákat metsző pontjai, a harmadik ponthalmaz (P) ezek vetülete a vízszintes tengelyen. Az egyenes a vízszintes tengelyt az egyes értéknél metszi, a függőleges tengelyt pozitív egész koordinátáknál, és ez a koordináta érték a ponthalmaz indexe. Az indexek szerint a halmazok sorozatát képezzük, majd ezen sorozatok határértékét.

Az első képen tehát két leképezést ( N=>V és V=>P) ábrázolunk, a második képen ezek határértékét.

A sorozatok határérték képzéséből kiderül, hogy az indexhalmaz, vagyis a véges természetes számok sorozata nem képez rá a határérték halmazra, ugyanis a pontvetületek halmazainak határértékhalmaza a valós számok folytonos intervalluma, míg a létrapontok határértéke az egyes koordináta feletti függőleges pontsorozat, és e pontsorozat minden véges indexű vetülete az egyes koordinátájú pont. Tehát önként adódik az a megoldás, hogy az intervallum további részére, ami egyetlen pont kivételével a teljes intervallum, a végtelen nagy értékű indexek képeznek rá. Ezzel feloldódik az az ellentmondás is, hogy a megszámlálhatóan végtelen véges indexek nem képezhetnek rá egy megszámlálhatatlan végtelen folytonos intervallumra. Valóban nem képeznek rá, hiszen a véges indexek egyetlen pontra képeznek, és a folytonos intervallumra csak a végtelen nagy indexek képeznek, amelyeknek számossága tehát szintén megszámlálhatatlanul végtelen.

Ez egyben azt is jelenti, hogy a véges természetes számoknak csupán a sorozata (amit a rákövetkezések műveletével definiálunk) megszámlálhatóan végtelen, az összes természetes számok halmaza, amit e sorozat határértékeként kaphatunk, megszámlálhatatlanul végtelen, és tartalmazza a végtelen nagy számokat is. Ennek okából a természetes számok halmazára való hivatkozások maguk után vonják a végtelen nagy számokra való hivatkozást is, amit általában nem kívánatos, hiszen nem végezhetők el velük mindazok a műveletek, amik a véges számokkal elvégezhetők. Ugyancsak probléma a racionális számok halmazként való emlegetése, hiszen a végtelen nagy számok jelenléte miatt ez a halmaz azonos a valós számok halmazával. Tehát a racionális számok is csak sorozatként definiálhatók értelmesen, nem pedig halmazként.

Hogy jobban érthessük a végtelen halmaz, és a sorozat fogalma közötti különbséget, gondoljunk csak a teljes indukció elvére. Ez az elv adja a kulcsot a véges természetes számok körében megfogalmazott számelméleti problémák bizonyításához. A teljes indukció elve tökéletes összhangban van a sorozat fogalmának definiálásával, ami persze nem meglepő, hiszen a természetes számok sorozatot alkotnak, és a teljes indukció elve azt a követelményt állítja elénk, hogy egy bizonyítandó állításból is alkossunk állításokból álló végtelen sorozatot, amely így tagonként rendre megfeleltethető a természetes számok sorozatának, tehát minden természetes számra érvényes így az állítás. Ez a követelmény szükséges és elégséges feltétele egy állítás igazságának bizonyításához. Ez egyben azt is jelenti, hogy minden további követelmény felesleges, és hibás a természetes számok körében tett kijelentéseket illetően, gondolok itt elsősorban a természetes számok sorozatának halmazként való kezelésére. Hiszen látható fent a végtelen létra példájából, hogy a V határérték halmazban nem különíthetők el határozottan a véges, és végtelen indexű tagok (bár állíthatjuk, hogy minden véges indexű tag x koordinátája 1, de nem állíthatjuk, hogy minden 1-es x koordinátájú tag véges indexű), tehát az összes véges természetes szám sem különíthető el határozottan a végtelen nagy számoktól sem, így egy ilyen halmaz elemeivel nem számolhatunk úgy, mintha azok csak véges természetes számokból állnának.

Ezzel szorosan összefügg az is, hogy sorozatok, és végtelen halmazok esetében a hatványhalmaz (illetve annak sorozata) ugyanolyan számosságú, mint az alapsorozat, illetve halmaz, tehát Georg Cantor tétele, amely ennek ellenkezőjét állítja, hibás.

Budapest, 2013. április 26.

A bejegyzés trackback címe:

https://takacs-ferenc.blog.hu/api/trackback/id/tr475248349

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

measure41 2016.11.10. 13:56:34

A látszólagos paradoxont egyszerűen a hibás intuíció, és a precíz fogalmak hiánya okozza.

N(n)={(0, i): i=0, ... n} ≈ {i: i=0, ..., n}
V(n)={(1-i/n, i): i=0, ..., n}
P(n)={(1-i/n, 0): i=0, ..., n} ≈ {1-i/n: i=0, ..., n}

Az y=n(1-x) egyenletű egyenesek meredeksége valóban a végtelenhez tart, de ez nem jogosít minket fel arra, hogy azt mondjuk, hogy maga a "létra" a függőlegeshez konvergál. Nézzünk ilyen gondolatmenetre egy létrához elég közel eső példát:
Legyen H(n) az a háromszög, melynek csúcspontjai: (0, 0), (1/n, n), (2/n, 0), ahol n=1,2,3,...
Ezen H(n)-ekről rögtön két megállapítást tehetünk. Egyrészt mindegyik háromszög, másrészt, mindegyiknek a területe egyenlő 1-el. Alkalmazva az ön logikáját, (0, 0) -> (0, 0), (1/n, n) -> (0, ∞), (2/n, 0) - > (0, 0), Tehát H(n) tart y koordinátatengely nem negatív részéhez, aminek ráadásul létezik területese, ami éppenséggel szintén megegyezik 1-el, ami már így önmagában is banalitás, azonban ugyan erre a halmazhoz jutunk, ha a "csúcspont" koordinátáit megváltoztatjuk például (1/n, 2n)-re, így az összes tag területe 2 lesz, tehát a feltételezett határhalmazé is, ami ellentmond annak, hogy az előbb "megmutattuk", hogy a területe 1.
A probléma az intuitív határértékfogalom.
A fenti problémára van matematikailag megalapozott módszer. Nevezzük a fenti háromszög alapjának az x tengelyen fekvő oldalát, és száraknak a másik kettőt. Legyen f_n:[0, 1] -> R függvény, melynek grafikonja megegyezik a H(n) háromszög száraival, ezenkívül legyen mindenütt nulla. Nem nehéz belátni, hogy minden [0, 1]-beli x-re f_n(x) tart 0-hoz a klasszikus pontsorozati konvergencia szerint, ebből természetszerűen adódik, hogy az f_n függvények határértékének az azonosan nulla függvényt tekintsük. Térjünk vissza a területre, ez ugyebár jelen esetben a [0, 1] intervallumon vett integrálja a függvényeinknek, ami minden n-re megegyezik 1-el, az f_n függvények integráljának limesze tart 1-hez, ellenben az f_n függvények integrálja egyenlő 0-val (ezt a tényt az se változtatja meg, ha az előbbi módon a csúcspont koordinátáit megváltoztatjuk).
Ezzel már kaptunk egy jól definiált határértékfogalm az analízis nyelvén, próbáljuk ezzel megvizsgálni a vételen létrát. Rögtön adódó probléma, hogy ebben az esetben az f_n(x)=n(1-x) függvény esetében nem jutunk sokra, mert ha x nem egyenlő 1-el, akkor f_n(x) a végtelenhez tart, míg f_n(1) a 0-hoz, tehát pontonként nem konvergens a függvény, de ez a probléma áthidalható, ha az x és y koordinátatengelyek szerepét felcseréljük.
f_n(x)=1-x/n ahol x=1, 2, 3, ...
Ebben a kontextusban már igaz, hogy minden x-re f_n(x) tart az azonosan 1 függvénnyel, amely analóg azzal, hogy a létra határhelyzete az x=1 fölötti vízszintes félegyenes. Fogalmazzuk meg most ezen a nyelven az N, V és P halmazokat is:
N(n)={(k, 0), k=0..n}
V(n)={(k, f_n(k)), k=0..n}
P(n)={(0, f_n(k)), k=0..n}
Minden 0<= x <=1 racionális számra igaz (x=p/q, ahol nyilván p<=q), hogy f_q(q-p)=x. Mivel a racionális számok sűrű részhalmaza a természetes számoknak, azaz tetszőleges valós számot közelíthetünk racionális számok sorozatával, így nincs semmi meglepő abban, hogy minden [0, 1]-beli y-ra (legyen az racionális vagy éppenséggel irracionális) minden n-re megadható olyan k(n), hogy 0 <= k(n) <= n, hogy f_n(k(n)) tart y-hoz, de ezzel csupán definiáltunk egy olyan a_n konvergens racionális sorozatot melyre igaz, hogy f_n(a_n) tart x-hez. Itt jön a probléma. Amit ön lényegében feltételez, hogy ebből következik, hogy ha az a_n sorozat határértéke a, akkor f_n(a) is tart x-hez, ami viszont már nem igaz, mert a pontonkénti konvergencia fogalma nem vonja maga után a határértékképzés felcserélhetőségét. Ehhez egy erősebb konvergenciafogalomra van szükség, az egyenletes konvergenciáéra, amit az f_n függvénysorozat már nem teljesít. Így következhet be, hogy a "határérték vetülete" nem egyezik meg a "vetületek határértékével". Az egyenletes konvergencia már bír azzal, hogy ha a függvénysorozat tagjainak bizonyos tulajdonságait a határérték is tartja, például a határértékképzés felcserélhetősége, folytonosság, integrálok határértéke a határértékek integrálja)