Leírás

(0,1,2,3,..) ≠ {0,1,2,3,...}
______________________
Ezek a gondolatok át fogják formálni a matematikát. De hogy miről szól a blog, azt az áttekintőben olvashatod. 2012 júliusa óta nem tudott senki cáfolatot adni. Ez már-már az igazolásom.
______________________
These ideas will be to shape the mathematics. But what I'm talking about the blog, you can read about it in the overview. Since July 2012 could no rebuttal. This is almost proof.

Friss topikok

Rövid összefoglaló a halmazok, számosságok és természetes számok új értelmezéséről

2016.07.01. 10:48 | Takács Ferenc bp. | 1 komment

Az itt definiált fogalmak bár hasonlítanak a máshol definiált azonos nevű fogalmakhoz, de többnyire nem azonosak vele, sőt lényegbevágó eltérések is vannak, így vigyáznunk kell arra, hogy milyen környezetben használjuk, mert más környezetben durva hibák, és félreértések adódhatnak a definíciók eltéréseiből. A rövid leírás célja éppen az, hogy ezek a gondolatok összehasonlíthatók legyenek a máshol szokásosakkal. Mindemellett sok olyan kérdésre nem térek ki, amelyek a szokásos tárgyalásmódból jól ismertek, vagy megismerhetők.)

Utolsó módosítás: 2019.05.10.

Alapfogalmak

Mivel mondanivalóm kizárólag a halmazok, a számosságok, és a természetes számok értelmezését érinti, így néhány más területet érintő előzetes matematikai alapfogalom definícióiról nem lesz szó, azokat előzetesen ismertnek tételezem. Ezek a matematikai logika, matematikai kijelentések, és relációk alapszintű ismeretei, a leképezések, és egy-egy értelmű leképezések fogalmai. Ezek nagyrészt a hétköznapi nyelv logikájának pontosított megfogalmazásai, és magam sem kívánok ezek alkalmazásába mélyebben belemenni, így talán nincs szükség komolyabb előtanulmányokra ahhoz, hogy írásom érthető legyen bárki számára. Az új matematikai fogalmakat fokozatosan fogom bevezetni, lehetőleg ügyelve, hogy először csak az egyszerűbb ismereteket tárgyaljam, és csak ezek után, ezekre támaszkodva jussak el a bonyolultabb ismeretekig. Emiatt, mint látni fogjuk, bizonyos matematikai struktúráknak lesz egyszerűbb, és bonyolultabb, teljesebb változata is.

A véges számosságú halmaz definíciója:

A halmaz tetszőleges objektumok csoportja, amelyben az egyes megkülönböztethető objektumokat a halmaz elemeinek nevezünk. A halmazt az elemei egyértelműen meghatározzák, és fordítva; a halmaz egyértelműen meghatározza az elemeit. A halmaz elemeinek különböznie kell egymástól. Az olyan csoportot, amelyben az objektumok hozzátartozása nem határozható meg egyértelműen, nem nevezhetjük halmaznak. Az olyan objektumokat, amelyek összetartozását nem tudjuk egyértelműen meghatározni, nem alkotnak halmazt. Más tekintetben a halmazt alkotó objektumok bármik lehetnek. Tárgyak, fogalmak, bármi. A leírtakban bárki ráismerhet az un. naiv halmazelmélet alapjaira, de kezdésnek csak a véges számú elemet tartalmazó halmazokat vesszük. A halmazelmélet kiterjesztésére akkor kerülhet sor, ha az ehhez szükséges fogalmak (végtelen) definiálásra kerültek.

Jelölések:

Legyen H egy halmazt, amelynek elemei a, b, c, és d. Ezt úgy jelöljük, hogy H = { a, b, c, d }.

Így jelöljük azt, hogy a eleme H halmaznak: aH

Van egy univerzális speciális halmaz, az üres halmaz {} = ∅, amely nem tartalmaz elemet. Univerzális, mert bármilyen objektumokat tartalmazó halmazból eltávolítjuk az elemeit, akkor ugyanehhez az üres halmazhoz jutunk.

Részhalmaz: A ⊆ B, A halmaz minden eleme B halmaznak is eleme.

Valódi részhalmaz: A ⊂ B, A halmaz minden eleme B halmaznak is eleme, de B halmaz nem minden eleme eleme A halmaznak.

Egy halmaznak elemei lehetnek maguk is halmazok.

Például a C = { {}, {{}}, { {}, {{}} } } is halmaz, de az elemei csupán az üres halmazból képezett különböző halmazok, vagyis egy tisztán matematikai absztrakció a halmaz itt definiált tulajdonságai alapján.

Műveletek:

Halmazegyesítés, vagy unió: { a, b, c, d } ∪ { c, d, e, f } = { a, b, c, d, e, f }

Közös rész, vagy metszet: { a, b, c, d } ∩ { c, d, e, f } = { c, d }

Különbség, vagy kivonás, vagy eltávolítás: { a, b, c, d } \ { c, d } = { a, b }

Véges halmazok számosságáról:

Ha két halmaz elemei között egy-egy értelmű megfeleltetés létesíthető mindkét halmaz összes elemére vonatkozóan, akkor a két halmaz azonos számosságú. Ha ilyen megfeleltetés csak az egyik halmaz minden elemét érinti, míg a másik halmaz elemeinek csak egy részét, akkor a másik halmaz nagyobb számosságú, míg az egyik kisebb számosságú. A valódi részhalmaz kisebb számosságú. Az üres halmaz számosságánál nincs kisebb számosság, ez egyben a legkisebb számosságú halmaz. Az azonos számosságú halmazok meghatároznak egy-egy ekvivalencia osztályt, vagyis a halmazok számosságuk szerint ekvivalencia osztályokba sorolhatók. A kisebb, vagy nagyobb számosság alapján az ekvivalencia osztályokon rendezést tudunk értelmezni. A számosság fogalmára még gyakran visszatérünk.

Az egyszerű végtelen sorozat definíciója:

Az egyszerű végtelen sorozat egy összetett matematikai alap-objektum, amelynek tagjai vannak. A tagok között van egy kitüntetett tag, amelyet kezdő tagnak nevezünk. A végtelen sorozatban definiálunk egy rákövetkezési szabályt, amely bármely tagra következő olyan rákövetkező tagot definiál a már definiált tagok alapján, amely nem lehet azonos a korábban definiált tagokkal. Egyszerűbb esetekben az első néhány tag felsorolásával, és ... jelzéssel is megadhatunk sorozatot, ha az nem okoz félreértést (0,2,4,6,...), vagy (1,2,4,8,...). A rákövetkezési szabály tehát minden már definiált tagra definiál egy újabb előzőktől különböző rákövetkező tagot, így az egyszerű végtelen sorozatnak nem lehet vége, csak kezdete. Ezért nevezzük végtelennek. Az egyszerű végtelen sorozat tetszőleges, definiált tagjai alkothatnak véges halmazt, amelyet a tagokból alkotott részhalmazoknak nevezzük. Az olyan részhalmazt, amelyben benne van a kezdő tag, és egy adott tagig bezárólag a kezdő tagra következő összes tag, az egyszerű sorozat adott taghoz rendelt kezdőszelet halmazának nevezzük. Az adott tagra következő tag már nem eleme ennek a kezdőszelet halmaznak. A kezdőszelet részhalmazok véges számosságú halmazok. Mivel a véges halmazok elemei a korábbiak szerint bármik lehetnek, ha azok meghatározása egyértelmű, így az egyszerű végtelen sorozat tagjaira sincs más korlátozás, tehát bármik lehetnek, ha a rákövetkezési szabály egyértelműen definiálja őket. Az egyszerű kitétel azért szerepel, hogy a speciális kivételekkel, vagy a később tisztázandó általános sorozat fogalmával ne kelljen most foglalkozni. Tekintsünk ezután egy konkrét sorozatot.

A számosság-generátor S sorozatának axiómái:

  1. Az S sorozat tagjai halmazok.

  2. Legyen az S sorozat kezdő tagja az üres halmaz. {} = ∅.

  3. Minden s taghoz tartozik egy rá következő s+ tag, amely egy új elem hozzáadásával különbözik az s tagtól, és ez az új elem az s tagot tartalmazó halmaz: s+ = s ∪ {s}

Következmények:

  1. ∅ ∈ S ∧ a ∈ S → a ∪ {a} ∈ S. Sorozat esetén az „eleme” szimbólumot a „tagja” értelemben használjuk, amely szimbólum szabatosan azt jelenti, hogy létezik az S sorozat olyan kezdőszelet halmaza, amelynek eleme ez a tag.

  2. Néhány tag az elejéről: {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{},{{}}} }, … Mint láthatjuk, a számosság generátor sorozat egy egyszerű végtelen sorozat, amely csak matematikai fogalmakra épülő absztrakció.

  3. A sorozatra szokásos (,,...) jelölést használva: S = ( {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{},{{}}} }, … ) .

  4. Alternatív definíció: minden következő sorozat tag megegyezik a megelőző sorozat tagokból képzett (vagyis kezdőszelet) halmazzal. Ez mind 2., mint a 3. axiómát is helyettesíti, hiszen az első tagra is igaz, mivel az első tagot megelőző sorozat a semmi, így a belőle képzett halmaz az üres halmaz.

  5. Minden tag eggyel több elemet tartalmaz, mint az előző tag.

  6. Minden tag különböző.

  7. Minden tag véges sok elemet tartalmazó halmaz.

  8. A sorozatnak nincs vége, a 3. axióma eljárása bármeddig folytatható, vagyis az S sorozat végtelen.

  9. Minden a tag halmaz számossága kisebb, mint a rá következő a+ tag halmaz számossága.

  10. Bármely véges számosságú halmaz számossága megegyezik az S sorozat valamely tagjának számosságával. A bármely kitétel itt nem csak matematikai objektumokat jelent, hanem a világunk tetszőleges elemeiből, fogalmaiból képezett véges számosságú halmazokat is. Ezáltal válik a matematika a természettörvények leírásának nyelvévé.

  11. Az S sorozat minden véges számosságú halmazzal megegyező számosságú halmazt tartalmaz. Vagyis bármely véges számosságú halmaz számossága jellemezhető az S halmaz valamely tagjával. A számosság ekvivalencia osztályokat jelent az azonos számosságú halmazok között, illetve egy rendezést is definiál az S sorozat tagjainak sorrendje szerint ezekre az ekvivalencia osztályokra.

  12. Nincs olyan tag, amelynek számossága megegyezne az S sorozat számosságával, mivel az S sorozat számossága végtelen, de S minden tagjának véges a számossága.

  13. Az S sorozat minden taghalmazához rendelhető egy számnak nevezett matematikai objektum egy-egy értelműen, amely egyben a tag halmaz számosságával is azonos. Ez a hozzárendelés definiálja a véges természetes számok sorozatát. Vegyük észre, hogy a természetes számokat sorozatként definiáltam és nem halmazként, ahogy azt Georg Cantor munkássága óta elterjedt! Az új axiómarendszerben a végtelen fogalma a véges halmazok végtelen sorozatának fogalmán keresztül kerül be a matematika fogalmai közé. Minden természetes számhoz egy-egy értelműen hozzá van rendelve egy véges számosságú halmaz, amelynek számossága jellemzi a hozzárendelt természetes számot is, ezenkívül a rákövetkezés axiómája összekapcsolja a természetes számokat, mint egy sorozat tagjait. Az S sorozat kezdő tagjának, az üres halmaznak a számossága, illetve a hozzárendelt természetes szám nulla, és minden következő taghoz rendelt természetes szám nagyobb az előző természetes számnál, vagyis a természetes számokon is értelmezve van a rendezés. A számokon ezeken kívül lehet értelmezni aritmetikai műveleteket, lehet értelmezni a felírásukat, megkülönböztetésüket segítő számrendszereket, amelyek bár fontosak, de ezekre itt nem térek ki, mert egyrészt ismertek, másrészt mondanivalómtól függetlenek, és csupán további összefüggéseket definiálnak az itt definiált  sorozat tagjai között. Az itt szereplő axiómák a természetes számok Neumann-féle modelljéhez hasonlatosak, arra emlékeztethetnek, de más logikai felépítés, és következtetések szerint. A számosság-generátor S sorozat bár ekvivalens a természetes számok sorozatával, mégsem azonos vele, legfőképpen azon célból, hogy a két sorozatot fogalmilag is elkülönítsük, de meg is feletessük egymásnak, így emlékeztetve minket arra, hogy a természetes számok mindegyike adott számosságú halmazok osztályainak fogalmi elvonatkoztatásai. Ez az összerendelés, és elvonatkoztatás történelmileg, és ismeretelméletileg is megegyezik a számfogalom kialakulásával. A két fogalom elkülönítése lehetővé teszi, hogy a természetes számokat olyan egyszerű végtelen sorozatként kezeljük, amelynek tagjai nem halmazok, csupán a számleírás szabályait követő szimbólumok, vagy egyéb szimbolikus jelölések. De jegyezzük meg, hogy a számok szimbólumai valójában adott számosságú halmazok absztrakciói.

  14. Ha a számrendszerek leírása definiált, akkor az S sorozat leírása egyszerűsödik:
    0 = {},
    1 = {0},
    2 = {0,1},
    3 = {0,1,2},
    ...,
    n+ = {0,1,2, ..., n},
    ...
  15. Az itt definiált sorozatok képezik az alapját a matematikai számelméletnek. A tagok szabályos egymásra következése teszi átvihetővé a számelmélet különféle állításait a természetes számok teljes sorozatára, vagyis minden természetes számra. A legismertebb bizonyítási forma a számelméletben a teljes indukció, amikor is egy adott természetes számra igazolunk egy állítást, majd azon feltételezés mellett, hogy az állítás tetszőleges számra igaz, igazoljuk azt is, hogy az állítás a következő természetes számra is igaz marad. A teljes indukció képezi az alapját az egyszerű sorozat definíciójának is, valamint a felsorolt következményeknek is. A teljes indukció elve, és a fenti axiómák tehát egyenértékűek, nincs szükség újabb axióma kimondására, hogy a teljes indukció elve érvényesüljön. A számelmélet állítások tehát véges természetes számokra vonatkoznak, és véges számú természetes számot használnak fel a bizonyításokban, jó lehet, az nincs meghatározva, és nem is lehet meghatározni, milyen véges számról is van szó, mivel ezek számossága nem véges.

A sorozat általános definíciója

 A természetes számok sorozatának tagjaihoz valamely függvénnyel hozzárendelt függvényértékekből alkotott értékeket sorozatnak nevezzük. A természetes számok rákövetkezése alapján nevezzük a sorozat tagjait egymás után következőknek. A sorozatok értékkészletének számossága vagy megszámlálható végtelen, vagy véges. A véges számosságúakat csak a tagokat egyedivé tevő indexelés miatt nevezhetjük sorozatok, az indexelést elhagyva már nem, akkor csak véges számosságú halmazok.

Nevezetes sorozatok

Egész számok sorozata: n(i) = i/2 ha i páros, -(i-1)/2 egyébként, i pedig a természetes számok sorozata.

Racionális számok sorozata: r(i,j) = i/j, ahol i az egész számok, j a természetes számok sorozata a kezdőtag (nulla) nélkül. Mint látjuk, itt egymástól függetlenül kétszer is hozzárendeltük a természetes számok sorozatát a racionális számok sorozatához, ami felveti a kérdést, hogy valóban sorozattal van-e ez esetben dolgunk, vagy valami egészen új matematikai struktúráról. Azonban Georg Cantor megmutatta, hogy az átlós bejárással a racionális számok sorozata egyetlen hozzárendeléssel is előállítható, egyetlen sorozatba fűzhető, vagyis valóban sorozat, és számossága megszámlálható végtelen.

Ezen sorozatok részletesebb tárgyalására itt nem térünk ki, mivel ezek definíciója csak annyiban módosul a hagyományos definíciókhoz képest, hogy a korábbi halmazként kezelés helyett sorozatként kezeljük őket, a természetes számok sorozatából kiindulva. Ezen különbségek persze bizonyos szempontokból nagyon lényegesek.

Végtelen számosságú halmazok

Felmerül a kérdés, hogy vannak-e végtelen számosságú halmazok? Hiszen eddig csak véges számosságú halmazokról, véges számokról, és végtelen sorozatról volt szó. Nyilvánvalóan vannak végtelen számosságú halmazok is, hiszen egy intervallum pontjaihoz is rendelhető halmaz, de mindenekelőtt világossá kell válnia, hogy mást jelent egy halmaz számosságának végtelensége, és mást jelent egy sorozat végtelensége. A halmazok végtelenségének fogalmának megértéséhez további ismeretekre van szükségünk a sorozatok tulajdonságaival kapcsolatosan.

A sorozat vagy egyszerű sorozatként definiálható, vagyis megadjuk a kezdőelemet, és egy szabályt, ami a következő elemeket definiálja az előzőekből, vagy általános sorozatként definiálunk egy új függvényt, amelyet egy korábban definiált sorozaton értelmezünk. Bármelyik módon is definiáljuk a sorozatot, a kezdő tag, és sorozat tagjai közötti rákövetkezési összefüggés teljes mértékben jellemzi a sorozatot. A végtelen csupán azért kerül a számosság kifejezésébe, mert a sorozatnak soha nem találkozhatunk a végével, így valójában semmi dolgunk vele. Csak véges számokkal, és véges számosságú halmazokkal találkozunk a teljes indukcióra épülő bizonyításokban. A sorozatok számosságát ezen rákövetkezési összefüggésre tekintettel, (amely összefüggést egy befejezhetetlen megszámlálási folyamat lépéseinek is tekinthetünk,) megszámlálhatóan végtelennek mondjuk, bár valójában soha nem számolhatunk meg ténylegesen egyetlen sorozatot sem. Csak szimbolikusan értendő a megszámlálhatóság, helyesebb lenne a felsorolható, vagy sorozatba fűzhető végtelenség kifejezés. Halmaz esetében más, vagy további szempontokat is vizsgálni kell, többek között azt, hogy mik a halmazhoz való tartozás kritériumai, és mely elemek teljesítik ezt. Végtelen számosságú halmazok definiálására két lényegesen eltérő lehetőségünk van. Az egyik a folytonosság fogalmára épül, a másik valamely sorozat teljes (azaz minden elemének) tartalmazására. Mint látni fogjuk, mindkét esetben a végtelen halmazok számossága megszámlálhatatlanul végtelen.

Első út. Egy folytonos szakasz közbenső pontok kijelölésével felosztható több egyenlő részre, és mindegyik így kapott részlet maga is folytonos szakasz lesz, ami hasonlóan tovább osztható, tehát a szakasz felosztása végtelenségig folytatható. A felosztás folyamata egy sorozatban is rögzíthető, definiálható. Azonban a szakasz maga nem azonos a felosztási folyamattal, a kiindulási szakasz hossza nem változik attól, hogy felosztottuk egyre rövidebb szakaszok sorozatára. Így a felosztás sorozat jellege nem érvényes a szakasz folytonos jellegére. Ha a szakaszon kijelölünk egy pontot, előfordulhat, hogy az megegyezik a felosztás során valamelyik racionális osztóponttal, de az is előfordulhat, hogy soha egyik osztóponttal se fog megegyezni. De ha megegyezik is egy adott számú felosztást követően, akkor újra kijelölhetünk az adott felosztásban kapott ezen ponttal szomszédos szakaszon egy újabb pontot, amely nem egyezik meg egyik eddigi osztóponttal sem, és a kiindulási állapothoz hasonlatosan tovább folytatva a felosztást még sokáig, vagy soha nem fog megegyezni egyetlen racionális osztásponttal sem. Mivel ezt a kiválasztást akármeddig, végtelenül ismételhetjük, nyilvánvalóan létezniük kell olyan pontoknak, amelyek nem egyeznek meg egyetlen racionális osztásponttal sem, ráadásul a szakasz bármely tetszőleges helyén. Ellenkező esetben ugyanis, tehát ha nem léteznének ilyen pontok, nem tudnánk a szakaszt tovább felbontani, és befejeződhetne a felosztása a szakasznak. A szakasz csak akkor lehet folytonos, ha tartalmazza ezeket a pontokat is, vagyis olyan pontokat, amelyek semmilyen racionális felosztással sem állnak elő. Úgy tűnik, nincs mód a szakaszok felosztásának befejezésére, és ezzel a szakasz előállítására a szakaszt alkotó legkisebb szakaszok összegeként, mivel nem létezik legkisebb szakasz. De mivel a szakasz egésze létezik, valami mást módszert kell kitalálni a felosztás befejezésére, amit határértékképzésnek nevezünk. Vagyis elvileg jelezzük, hogy felbontottuk a szakaszt, és meghatározzuk, hogy egy ilyen elvi felbontáshoz, vagyis a határértékhez milyen tulajdonságok járulnak. Az egyik legfontosabb megállapításunk, hogy a határértékben a szakaszok nulla hosszúságúak, vagyis a kezdő, és végpontjaik azonosak. Ha nem lennének azonosak, úgy a felbontást tovább lehetne folytatni, vagyis ez nem lehetne a felbontás határértéke. Ebből az is következik, hogy a határérték tartalmazza azokat az irracionális pontokat is, amelyeket a felbontás folyamán mindig ki tudtunk jelölni. Továbbá a felosztásban keletkezett szakaszok számossága legalább végtelen lett, mivel a nulla hosszúságú szakaszokból másképpen nem állhat össze az eredeti szakasz. Megjegyezzük, hogy a folytonosság fogalmát manapság szűkebb értelmezési körben, csak a függvényekre használják a matematikában, a szakaszokra mást mondanak.

Második út. Tegyük fel, hogy egy V halmaz tartalmazza a fenti S számosság-generátor sorozatot, tehát az S sorozat minden tagját; ∀n, Sn ∈ V vagy V = {S}. Hogyan képezzük ezt a V halmazt? Az eddigi műveletek ezt nem definiálják. A sorozatot a rákövetkezés művelete állítja elő, de a sorozat soha nem fejeződik be, soha nem lehetséges a sorozat összes tagját előállítani a rákövetkezés műveletével. A sorozat bármennyi tagjából alkotott véges halmazon kívül is végtelen sok tagja van a sorozatnak. A sorozathoz rendelt természetes számokon definiált aritmetika is csak véges számokat tud előállítani, márpedig minden véges számnál van nagyobb véges szám. Ehhez egy új művelet bevezetésére van szükség, a határérték képzésre:

codecogseqn_1.png

A határértékképzés annak jelölése, hogy a sorozat minden tagja kivétel nélkül, végtelen számban rész vesz a kijelölt műveletben, függetlenül attól, hogy az axiómában rögzített rákövetkezés műveletével ezt nem lenne lehetséges elérni. Ami a gyakorlatban lehetetlen, azt elvileg megtehetővé tesszük, jelképesen átlépjük a végtelent. A jelen esetben ez a művelet a sorozattagok uniója, és így itt a határértékképzés azt jelenti, hogy V az S sorozat minden tagját tartalmazza. A határértékképzés a végtelen sok műveleti lépés megtételének elvi jelölése. Arra persze nincs garancia, hogy ez az elvi lehetőség megtehető-e, vagy egyáltalában értelmes feladat e.

A korábban felírt ∀n, Sn ∈ V kifejezés is kifejezi, hogy V halmaz minden számot tartalmaz, de az nem derül ki belőle, hogy V halmaz mit tartalmaz a megjelölt elemeken kívül.

A határértékképzés ugyanis sokkal többet jelent annál, mint amit eddig leírtunk. Számos olyan mellékhatása van, amellyel számolni kell. Olyan objektumok megjelenésével számolhatunk, amelyek a sorozat véges tagjaival végzett műveletben nem jönnek létre. Ezt a sorozat határértékének nevezzük. A határérték mindig megjelenik, és az adott sorozat mindig egyértelműen meghatározza, hogy mi ez a határérték. Ez fordítva nem igaz, sok különböző sorozatnak lehet ugyanaz a határértéke. Bizonyos esetekben a sorozat határértéke nem különbözik jellegében a sorozattagoktól, más esetekben pedig valami egészen új tulajdonságú objektum keletkezik. A határérték meghatározásának módja az adott sorozattól függ, ezekkel a matematika különböző ágai foglalkoznak.

De térjünk vissza a számosság-generátor sorozathoz. Erről a sorozatról korábban megmutattuk, hogy bármely tag számossága megegyezik a hozzárendelt véges természetes számmal, vagy másképpen a megelőző tagok számosságával. Máris egy zavarba ejtő ellentmondásba botlottunk. Az S sorozat számossága nem szerepel a sorozatban, de szerepelnie kell V halmazban, ugyanis a sorozat olyan halmazokból áll, amelyek számossága megegyezik a megelőző tagok számosságával, vagyis a sorozat tagok önmaguk számosságát fejezik ki. Mivel az S sorozat végtelen, így csak végtelen nagy természetes számok fejezhetnék ki ezt a végtelen számosságot, és az S sorozat tagjait végtelen nagy számosságúra kell hizlalnunk, hogy kifejezhessék a sorozat számosságát. Másrészről viszont a végtelen nagy számok nem felelnek meg az S sorozat definíciójának, mivel a végtelen nagy számok nem véges halmazok, és a rákövetkezés művelete sem képes definiálni rendezést a végtelen halmazokra. Tehát a V halmaz olyan végtelen számosságú halmazokat tartalmaz, amik ugyan nem tagjai az S sorozatnak, de kifejezik az S sorozat számosságát, és rendezhetetlenek. A rákövetkezés műveletét kiterjeszthetjük végtelen számosságú halmazra, de ezáltal a V halmaz nem csak az S sorozatot tartalmazza, hanem önmagát is, megszámlálhatatlanul végtelen számosságban, V = V ∪ {V}, ahol a rekurzív hivatkozás következménye a megszámlálhatatlan végtelenség. Ezen végtelen számosságú halmazokhoz rendelhetők a végtelen nagy számok is, és ezek szintén megszámlálhatatlan számosságban vannak. A V halmaz nyilvánvalóan a végtelen számosságú halmazok mindegyikét tartalmazza megszámlálhatatlan végtelen számosságban, hiszen ezekből nem tudunk kiválasztani kevesebbet. A végtelen nagy számokat számosságuktól függetlenül jelölhetjük egyetlen szimbólummal. V halmaz mindezeket a halmazokat tartalmazza megszámlálhatatlan számosságban, és ezen kívül a S sorozatot is az előbbiekhez képest elhanyagolható megszámlálható számosságban. Szükség esetén a határérték, vagyis a végtelen nagy egész számok szereplését logikai művelettel kizárhatjuk a halmazból, a V halmaz kontinuum számosságát azonban ezzel sem nem tudjuk megváltoztatni, mivel az a sorozat véges tagjai végtelenségének átlépése által keletkezett.

A végtelen halmazok fogalmának bevezetése miatt a cikk elején a véges halmazokra definiált egyes műveletek és állítások módosulnak.

A végtelen halmazok bevezetése utat nyit a valós számok, és a folytonos intervallumok definiálásához, és a további számfogalmak definícióihoz.

Sok esetben az explicit határértékképzés műveletét egyszerűen három ponttal jelezzük a kifejezésben levő felsorolás, vagy számok végén. Figyelni kell tehát, hogy ha ilyennel találkozunk, akkor vajon sorozattal, vagy határértékképzéssel állunk szemben. Ugyanez az implicit határértékképzés vonatkozik a sorozattagokkal végzett aritmetikai, és halmazműveletekre, de itt csak a műveleti jel jelzi a határértékképzést (ΠΣ∪∩).

A számosság fogalmához definiáltuk a számosság-generátor sorozatot. Ez előállította a véges számosságú halmazokat reprezentáló halmazokat, amelyekhez a természetes számok fogalmát is rendeltük. Véges számosságú halmazokból megszámlálhatóan végtelen van, és ez egy újabb számossági fogalom, amelyhez még a továbbiakban a végtelen halmazok megszámlálhatatlan végtelensége járult. Ezzel minden lehetséges számosságról szót ejtettünk.

Korábbi hibás állításokról.

Sorozatokkal, vagy sorozatok tagjaival műveleteket végezhetünk, amelyet két fő csoportba oszthatunk.

1. Egy vagy több sorozat kiválasztott tagjaiból, valamely műveletek által egy új sorozatot képezünk. A műveletek eredménye tehát egy másik sorozat. A hagyományos matematika ezt használja a sorozat definíciójaként, de valójában csak sorozatok közötti leképezésről van szó, amely konkrét sorozatokat nyilvánvalóan definiálhat, de a sorozat fogalmát nem, amelyet a természetes számok sorozatának axiómái definiálnak.

2. Egy vagy több sorozat összes tagja képez valamely műveletek határértéke által véges sok számot, halmazt, vagy megszámlálhatatlan számosságú halmazt.

A hagyományos matematika nem képes szétválasztani a két esetet, a halmazműveletek formalizmusa mindkét esetet lefedi, és sokszor még a képzett matematikusok sincsenek tisztában vele, hogy a jelölt halmazművelet az csak a tagok közötti műveleteket definiálja, vagy implicit egy határértékképzés műveletet is értelmezünk. Sokszor még a problémát sem fogják fel, vajon a végtelen unió, vagy végtelen metszet tartalmaz-e határérték képzést.

Hatványhalmaz fogalma: Egy A halmaz minden lehetséges részhalmazának halmazát hatványhalmaznak nevezzük, jelöljük most: H(A). Csak halmazhoz rendelhető hatványhalmaz, sorozathoz nem.

Véges n számosságú A halmaz hatványhalmazának számossága 2n, vagyis minden újabb elem az alaphalmazban megkétszerezi a hatványhalmaz számosságát. Véges számosságú halmaznak a hatványhalmaza is véges számosságú.

De mi van a megszámlálhatatlan végtelen számosságú halmazokkal? Egyrészről nem konstruálható meg egy ilyen halmaz hatványhalmaza, mivel meg sem számlálható. Ha egy halmaz nem számlálható meg, akkor nem létezik olyan függvény, amely a halmazt elemeire elkülöníthetné, és ez esetben az elemeinek minden lehetséges részhalmaza sem hozható létre. Másrészt ha e megkonstruálhatatlanságon túllépve feltesszük, hogy léteznek a megszámlálhatatlan végtelen halmazoknak a hatványhalmazai, azoknak is ugyanígy megszámlálhatatlan lenne a számossága.

De mi van a sorozatokkal? Azokhoz rendelhető hatványsorozat, amelyben a sorozat tagokat jelentő részhalmazok számossága minden alapsorozati tag hozzá vételével megkétszereződik, vagyis követi a véges esetek logikáját. Vagyis a megszámlálhatóan végtelen számosságú sorozatok hatványsorozatainak számossága is megszámlálhatóan végtelen. A megkétszereződésből következően adódik egy kézenfekvő egy-egy értelmű megfeleltetés a kettes számrendszerben felírt számok helyi-értékeinek sorszáma, és a természetes számok között, ahol az adott helyi-értéken álló egyes az adott szám szerepeltetését jelenti a részhalmazban. Nevezzük ezt helyi-érték megfeleltetés függvénynek, megjegyezve, hogy ha külön nem említjük, akkor a kettes számrendszerben felírt szám helyi-értékeiről van szó.

A leggyakoribb ellenvetés éppen annak a meg nem értésén alapul, hogy sokan nem szokták meg, vagy nem is ismerik a különbségtételt a hatványhalmaz, és a hatványsorozat fogalma között. A hatványhalmazt halmazhoz definiáljuk, a hatványsorozatot sorozathoz. Sorozathoz csak sorozat rendelhető egy-egy értelműen, úgy hogy minden egyes sorozat taghoz rendelünk egy-egy értelműen valami más dolgot, például a tag hatványhalmazát. Sorozaton értelmetlen a hatványhalmaz fogalmát értelmezni, mivel más a sorozat, és más a halmaz definíciója, nem értelmezhető közöttük egy-egy értelmű megfeleltetés.

Szokásos hibás értelmezése a sorozatokon értelmezett hatványhalmaznak a sorozat tagokból alkotható különböző sorozatok lehetséges száma. Ezek száma valóban megszámlálhatatlan, akár csak a valós számok, csakhogy ez az értelmezés nem felel meg a számosság, illetve a hatványsorozat definíciójának. A számosság definíciója szerint ha létezik olyan sorozat, amely a hatványsorozat minden tagját tartalmazza, akkor a hatványsorozat megszámlálható. Tehát nem az a kérdés, hogy hány sorozat definiálható a részhalmazok felhasználásával, hanem az, hogy létezik-e olyan sorozat, amely minden tagot, vagyis minden véges természetes számot tartalmazó részhalmazt érint. A hatványsorozat egyetlen egy hozzárendelést jelent egy adott sorozaton. A sorozat tagokból alkotható sorozatok fogalma egy teljesen különálló definíció, amelyet teljesen összekevernek egy sorozat tagjaiból alkotható részhalmazok fogalmával. A sorozatból alkotható részsorozatok elvileg sem tartalmazzák a véges részhalmazokat, mivel ezek nem alkotnak sorozatot, a sorozat minden esetben végtelen tagot jelent. A sorozatok száma megszámlálhatatlan, a részhalmazok megszámlálhatók. A megszámlálhatatlan sok sorozat mindegyikének van hatványsorozata amelyek mindegyike megszámlálható sorozat. A megszámlálhatatlanul sok sorozat nem definiálható egy sorozaton való megfeleltetés által, hiszen a sorozat megszámlálható számosságú, amelyhez csak megszámlálható számosságú sorozat társítható. Csak a határérték képzés teszi lehetővé megszámlálhatatlan számosságú sorozat származtatását.

Vannak akik hiányolják, hogy például a természetes számok hatványsorozata a páros számok sorozatához sem rendel véges sorszámot az említett helyi-érték megfeleltetés függvény. De ezen a hiányosságnak semmi köze a hatványhalmaz fogalmához. A páros számok sorozatának saját hatványsorozata van, és ez egyben részsorozata a természetes számok hatványsorozatának. A véges tagok minden lehetséges csoportosítását a helyi-érték megfeleltetés függvény hiánytalanul megszámlálja.

De mi van Cantor bizonyításával? Cantor hibásan halmazként értelmezte a természetes számok sorozatát, ami így implicit módon megszámlálhatatlan végtelen halmazt generált, és amelynek hatványhalmazáról próbálta bizonyítani, hogy megszámlálhatatlan. Tehát nem a bizonyítás miatt lett megszámlálhatatlan a hatványhalmaz, hanem mert a kiinduló halmaz is már az volt, és így az lett volna bebizonyítva, hogy a végtelen (megszámlálhatatlan) halmazok hatványhalmazai megszámlálhatatlanok. Cantor a hatványhalmaz fogalmát sem tudta rendesen definiálni, nem tudta megkülönböztetni a hatványsorozatot a hatványhalmaztól, ahogyan a sorozatot sem tudta megkülönböztetni a végtelen halmaztól. De ahogyan azt a Russel-Cantor analógia cikkemben írtam, a bizonyítás közvetve egy ellenmondást, egy hibás logikai sémát tartalmaz, ami ennek megfelelően sikeresen ellentmondó. Ha a közvetítőket feloldjuk az állítás azon paradox formát ölti, hogy az adott halmaz azon elemekből áll, amelyek nincsenek benne. Ennek az ellentmondásnak pedig nincs semmi köze a logikát közvetítő objektumokhoz, halmazokhoz, hatványhalmazokhoz, leképezésekhez. Az viszont egy érdekes momentuma e bizonyításnak, hogy ez a logikai ellentmondás feloldható, és éppen azt bizonyítja, hogy mivel a véges számosságok végtelen sokan vannak, ezért a véges számosságok fenti S  sorozatából képzett halmaz tartalmazza a végtelen számosságú halmazokat is, tehát a halmazban van olyan elem, amelyik egyetlen sorozat definíció szerinti elemmel sem egyezik meg.

Mikor okoz hibát a korábbi elmélet? A számosságról alkotott elméletek mehetnek a kukába. A végtelen számosságok végtelensége nem létezik, csak kétféle végtelenség van, a sorozatok, és a halmazok végtelensége. További hibákat okoz, ha valaki a természetes számok 'halmazával' Cantorhoz hasonlóan bűvészkedik, a teljes halmazra vonatkoztatott komplementer halmazokra hivatkozik, mivel a teljes halmazban ott vannak a nemkívánatos végtelen nagy számok. Ezen esetek kivételével nincs különösebb jelentősége, ha a sorozatot halmazként kezeljük, bár sohasem fogjuk úgy látni a számokat, amilyenek valójában.

Létrehozhatók-e megszámlálhatóan végtelen számosságú halmazok?

Nem ismerünk ilyen módszert. A sorozat számosságát nevezzük megszámlálhatóan végtelennek, ami azt jelenti, hogy a sorozat véges tagjain korlátozás nélkül tudunk előre haladni, mivel nincs olyan aritmetikai művelet, amely elérhetné a sorozat végét a végtelenben. Azonban ha egy halmaz egy sorozat minden tagját tartalmazza, akkor annak végtelen sok elemet kell tartalmaznia, ami aritmetikai, vagy elemi halmazművelet által nem érhető el. Csak a sorozat határértékeként tudjuk értelmezni a végtelen sok elem megjelenését, ami által értelmét veszti a rákövetkezés által definiált rendezettség, és megszámlálhatóság a halmazon belül. A sorozat tagjainak láncolata a véges sorszámú tagok között irányított, és rendezett, a végtelenben azonban a halmazelemek rendezetlenek, és irány nélküliek.

mat3.jpg

Amikor egy sorozatot halmazként értelmezünk, implicit végrehajtjuk a sorozaton a határérték képzést is a 'minden elemre igaz' kvantor érvényesülése képen, ami ilyenkor nem csupán az elemek közötti logikai állítás, hanem a halmazhoz való tartozás kritériuma. Ha egy ilyen állítás végtelen számosságú elemet generál, úgy csak a határérték képzéssel tudjuk ezt a kívánalmat teljesíteni, ahogyan a Zenon apóriában versengő Achilles is csak a határérték képzéssel tud átszökkenni a teknősig tartó végtelen sok, bár egyre rövidülő szakaszon.

Hogyan értsük, hogy a véges természetes számok halmaza nyílt halmaz? Tekintsük az 1/n sorozatot. A függvényértékek n növekedésével egyre jobban közelítenek a nullához, és a sorozat határértéke nulla. Ha a sorozat tagjait tekintjük, vagy ezzel egyenértékűen az 1/n függvény értelmezési tartományának a nem nulla véges természetes számokat vesszük, akkor a nulla nem szerepel a függvényértékek között, azok a ( 0, 1 ] nyílt halmazból kerülnek ki. Ha a végtelen számokat is tartalmazó teljes halmazát vesszük a természetes számoknak (a nulla kivételével) értelmezési tartományként, úgy az értékkészlet a nulla értéket is felveszi, vagyis a [ 0, 1] zárt intervallumból kerülnek ki, ráadásul megszámlálhatatlanul végtelen számosságú esetben. A végtelen nagy számok értelmezésével értelmet nyer például a 0 < x < ∞, és a 0 < x kifejezések közötti különbség, ahol a második esetben x végtelen is lehet (ha nem kötjük ki, hogy x valós szám), vagyis a korlátlan intervallumoknál is megkülönböztethetőek a zárt, és nyílt halmazok.

Milyen arányban vannak a véges, és a végtelen nagy számok? A végtelen létra árnyéka szemlélteti ezt a legjobban, amely a Peano-görbe egydimenziós vetületeként is felfogható. Az ábrán jól megfigyelhető az index sorozat, és a vetület halmaz közötti leképezés, illetve, hogy ez hogyan módosul a határértékben.

ladder1.png

Ismeretes, hogy nevezetes irracionális konstansokat csak racionális közelítő számokként tudunk meghatározni, vagyis két természetes szám hányadosaiként. Minél pontosabb a közelítés, annál nagyobbak ezek a természetes számok. A keresett irracionális számot ezen sorozatok határértéke jelenti, tehát az irracionális számokat két végtelen nagy egész hányadosaiként is értelmezhetjük. Ezek persze nem egyértelműen meghatározottak, mivel bármely tört tetszőlegesen bővíthető.

A korábban említett helyi-érték megfeleltetés függvénnyel gyakorlatilag bármely egész értékű sorozat értékkészletéhez megfeleltethetünk egy egyértelműen meghatározott végtelen nagy számot. Így a páros számokhoz, a páratlan számokhoz, a négyzetszámokhoz, a prímszámokhoz is egy-egy meghatározott végtelen nagy szám tartozik, amelyek minden véges helyi-értékű számjegye meghatározott. A helyi-érték megfeleltetés függvény tehát kiterjeszthető, a végtelen számok 2-adikus felírását feleltethetjük meg az egész számok részhalmazainak, sorozatainak.

A végtelen számok a matematikában ezelőtt is ismertek voltak, több mint száz éve, mint a p-adikus számok egyik formája, és amelyeknek másik formái a racionális számok. A p-adikus számok persze csak a periodikusan felírható végtelen számokat fedik le valamely p prím szám alapú számrendszer szerint. A végtelen számoknak ez a része tehát megszámlálható számosságú, szemben a nem periodikus végtelen számokkal.

Lényegi különbségek a korábban elterjedt elméletektől

A számok szokásos definíciói további axiómát is tartalmaznak, miszerint létezik a természetes számokat tartalmazó halmaz (ZF, ZFC axiómarendszerek, végtelenségi axiómája). Ezt axiómaként kimondva, fel sem merült sokakban, hogy ez esetleg egy logikailag sánta axióma, hiszen az axiómát nem kell bizonyítani, így mindenki felmentve érzi magát az axióma rendszer konzisztenciájának bizonyítását illetően. Mint fent láttuk, sok olyan halmaz létezhet, amely tartalmazza a véges természetes számokat, csakhogy ezek a halmazok vagy másféle objektumokat is tartalmaznak, mint például a végtelen nagy számok, vagy olyan nyílt halmaz, amelynek komplementerhalmaza nem üres. Valójában ez az axióma így teljesen fölösleges, hiszen a rákövetkezés művelete önmagában képes meghatározni, hogy milyen halmazok tudják tartalmazni a természetes számokat, lévén egy sorozat egyértelműen meghatározza a határértékét (, amennyiben az létezik), másrészt egy hibás elképzelést sugallt a természetes számokról. A hagyományos matematika képtelen megkülönböztetni a sorozat, és a sorozatot tartalmazó halmaz fogalmát, természetellenesen azonosnak veszi ezen két gyökeresen különböző objektumot, így nem is képes számot adni különbözőségükről.

Mivel az említett axióma rendszerek a jelenlegi matematika alapozásai, így eredendő hibájuk minden jelenlegi matematikai állításra kiterjed, vagy kiterjedhet. Axióma mivoltuk miatt nem érvényesek rá a matematikai bizonyítások szabályai, mivel bizonyítani sem kell az axiómákat, így persze cáfolni sem lehet őket szabályos matematikai bizonyítással. Ezért a hiba kimutatása is csak egy alternatív axiomatikus felépítésen keresztül lehetséges, ami így már jóval átfogóbb terjedelmű, mint egy hibás tétel hibájának bizonyítása. Sajnos a matematikusok manapság a valóságtól elrugaszkodva, teljesen független állításként értelmezik az axiómák fogalmát, így képtelenné váltak annak megértésére, hogy mi a kapcsolat a matematika, és a valóság között. Pedig ez Euklidesz óta ismert. Az axióma olyan egyszerű állítás, amelynek igazságtartalma annyira nyilvánvaló, és magától értetődő, hogy nincs igényünk igazságtartalmának bizonyítására, igazság tartalmukkal kapcsolatosan semmilyen kétségünk nem marad. Nem véletlen, hogy amikor több mint másfél ezer év után kétség merült fel Euklidesz egyik axiómáját illetően, annak egyetemes értelmezését el is vetették. Ugyanezen az alapon a végtelenségi axiómának meg sem szabadott volna születnie, mivel a sorozatok definiálása nem azonos a halmazok definiálásával, és ennek axiomatikus azonosítása nem magától értetődő, sőt, mint az itt olvasható, hibás.

Hibás a sorozat szokásos definíciója is, mely szerint "a sorozat a természetes számok halmazán értelmezett függvény". A feje tetejére van itt állítva a logika. A matematikai bizonyítások alapját adó teljes indukció elvének sorozatokban megnyilvánuló axiomatikus rögzítése helyett egy zavaros halmazaxiómára építik a sorozatokat, és így az  indukciót.

A későbbiekben újabb axióma rendszerek születtek a természetes számokról, de ezen a problémán ezek sem tették túl magukat, ezzel szemben olyan akadémikus szintre emelték a matematika legelemibb alapjait, amely gyakorlatilag húzza ki a talajt a matematika alól. Ezzel a matematika a tudományok szilárd megalapozása helyett elvont spiritiszta elmélkedéssé vált.

A halmazok szokásos definíciója axiómaként mondja ki a hatványhalmazok létezését. Ez szintén durva hiba, hiszen az egy egyszerű következmény, hogy egy halmaz elemeiből hogyan lehet részhalmazokat képezni, létezik-e az összes lehetséges részhalmaz halmaza. Ráadásul egy kontinuum számosságú halmazhoz senki sem tud konstruálni hatványhalmazt, éppen azért nem, mert elemi megszámlálhatatlanok, így eleve kétséges, hogy létezőnek tekinthető egy ilyen hatványhalmaz, vagy sem, az csak mint feltételezés tárgyalható.

Az itt használt ún. naiv halmazelmélet bőségesen elegendő a matematika egzakt tárgyalására. A későbbiekben a naiv halmazelméletet olyan igényekkel vetették el, amelyeket később sem sikerült beteljesíteni, sőt bizonyossá vált, hogy ez az igény nem is teljesíthető. Ez volt az új axióma rendszerek bevezetésének másik oka, amely megint csak elbonyolított olyan dolgokat, amiknek a lehető legegyszerűbbeknek kell lennie, ahogyan azt Euklidesz óta tudjuk. Az axiómák akadémikus bonyolultsága az egyik eredendő oka annak, hogy a matematika legelemibb alapjaiban hibák vannak.

A matematikának van egy területe, amely a halmazok számosságát tárgyalja, és a hatványhalmaz nagyobb számosságának hibás cantori tételén nyugszik. Ez az egyetlen tétel állítja, hogy a végtelen számosságok is végtelen sorozatot alkotnak, semmilyen más alternatív bizonyosság szerzési lehetőség nem létezik. Ezek a területek az alaptétel hibájából adódóan a matematika vakvágányát jelentik, hacsak nem merülnek fel olyan struktúrák, amelyekre ezek az elméletek illeszthetők, vagyis másik alapra lehet őket helyezni. Nagy szerencse, hogy a számosság-aritmetikára egyetlen fontosabb matematikai ágazat, egyetlen nagy fontosságú tétel sem épül. Úgy gondolom, ennek oka az, hogy a matematika logikája a tudat alatt is működik a matematikusok agyában, és ez akkor is hatással van a tudatos gondolkodásunkra, ha egy hibás tétel az ellenkezőjét hiteti el velünk. Vagy egyszerűbben fogalmazva, a hamis logika átgondolhatatlan, továbbvihetetlen.

A bejegyzés trackback címe:

https://takacs-ferenc.blog.hu/api/trackback/id/tr668858254

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Takács Ferenc bp. 2016.08.16. 10:57:49

Az index fórumán ezen a topikon az elméletemről kialakult vita található:
forum.index.hu/Article/showArticle?t=9233139