Cantor témakörhöz csatlakozó írásom javaslom neked:

Ezen feltárásom a matematikai formalizálás hibalehetőségeit és korlátjait érinti: Kurt Gödel (1906-1978) matematikus első nemteljességi tétele érvényes-e, vagy csak főként egy hamis dilemmára alapuló érvelési hiba? Tényleg csak két választási lehetőség van? Vagy van még több is? Nem kellene inkább ezt átsorolni a paradoxon példákhoz? Mint David Hilbert (1862-1943) egyik leghíresebb matematikus Grand hotel felvetése is oda van sorolva. Egyáltalán matematika ez, vagy csak igen butuska és ráadásul hibás filozofálgatás? Gödel különféle tételei egymást is cáfolják?

vilagnezet.blog.hu/2021/11/28/godel_elso_nem_teljessegi_tetele_oncafolas_es_hamis_dilemma

Bejegyzés: Első beszélgetésem egy géppel (ChatGPT)

@vilagnezet.blog.hu: Sokan hivatkoznak helyes alap nélkül Gödel tételére, számos hibás felhasználása van, ez kétségtelen. De valójában a Hilbert által meghirdetett formalizálási program (a matematika átalakítása, és kvázi gépesítése) lehetetlenségét, és értelmetlenségét bizonyította be. Persze ekkor már igen előrehaladott állapotban tartott ez a program, és szinte készen állt a bevezetésre. De egyrészt Gödel tétele miatt, másrészt a matematikusok formalizmussal szembeni ellenszenve miatt a formalizmus félkészen maradt. Így ma mindenki részben használja, részben nem. A definíciókat lerövidíti, de a bizonyításokat követhetetlenné teszi. Egy új, tömör jelölési rendszer, de szinte semmi több. Sajnos a laikusokat még jobban eltávolítja a matematikától.

Hawking megjelentette "az idő még rövidebb történetét", amelyben számos javítás van az előző kiadáshoz képest. Az általad idézett részekre nem emlékszem, de például kihagyta az általam hibásnak értékelt bizonyítását a newtoni univerzum összeomlásáról. Úgy tűnik sok mindent elkapkodott az első kiadásban.

Bejegyzés: Brief summary of new interpretations of sets, cardinalities, and natural numbers

Gödel 90 éven keresztül átvert sokakat:

Gödel első nemteljességi tétele öncáfolás és hamis dilemma

vilagnezet.blog.hu/2021/11/28/godel_elso_nem_teljessegi_tetele_oncafolas_es_hamis_dilemma

Bejegyzés: Brief summary of new interpretations of sets, cardinalities, and natural numbers

"aminek ráadásul létezik területese, ami éppenséggel szintén megegyezik 1-el, ami már így önmagában is banalitás,"

Nem az , mivel a határérték területe 0*∞ bármilyen nem negatív értéket felvehet. Azért csak nem negatív, mivel pozitív irányból közelítünk a nullához. A terület azért lesz mégis éppen egy, mivel az minden véges tagra ugyanannyi, vagyis állandó, így a határértékben sincs ok a megváltozásra. Ugyanez más háromszög más területére is igaz.

"Legyen f_n:[0, 1] -> R függvény, melynek grafikonja megegyezik a H(n) háromszög száraival, ezenkívül legyen mindenütt nulla. Nem nehéz belátni, hogy minden [0, 1]-beli x-re f_n(x) tart 0-hoz a klasszikus pontsorozati konvergencia szerint, ebből természetszerűen adódik, hogy az f_n függvények határértékének az azonosan nulla függvényt tekintsük."

Nem sok hasonlóságot látok itt a klasszikus konvergenciához. Adott x-re egy adott n index értékig változnak a függvényértékek, a felett azonosan nullák. Egy ilyen függvénynek semmi köze a létra példához.

Az intuíció igen fontos szerepet kap olyan esetekben, amikor az aritmetikai műveletek használhatatlanná válnak (n->∞). A határérték meghatározása intuíció nélkül lehetetlen. Erre már Zénon is rájött.

Bejegyzés: A végtelen létra árnyéka

Valóban úgy látszik, már nem haladunk, így tegyük félre a vitát, amelyből egyébként sokat tanultam.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

Abban igaza van, hogy a (Valós számhalmazokra vonatkozó) Cantor-féle metszet -tétel és a Cantor axióma állítása megegyezik. Tételként csak a Felsőhatár axióma kimondásával bizonyítható, ami újra csak implicit kimondása annak, hogy léteznek irracionális számok. De ez nem változtat semmit, mert mindegy, hogy test és rendezési axiómákat a felsőhatár axiómával, vagy a Cantor és az Archimedesi axiómával egészítjük ki, ekvivalens elméletet kapunk, de az én meglátásom az, hogy az utóbbi két axióma szemléletesebb.
Mivel, mint kiderült, nem ismeri el, hogy létezne a természetes számoknak semmilyen halmaza, csupán olyan halmaz, ami tartalmazza a természetes számokat, meg még mindenféle egyebet is, így nyilván a bizonyítás többi része sem lehet irreleváns.
" Y nem szabályos zárt halmaz, hanem nyílt, így számossága se értelmezhető." Ugyan úgy, ahogy egy halmazon értelmezett környezetstruktúra nélkül határértéket sem lehet értelmezni, úgy a nyílt halmaz fogalmát sem, arról nem is beszélve, hogy nincs semmiféle kapcsolat aközött, hogy egy halmaz nyílt vagy zárt, illetve, hogy milyen a számossága, pontosan azért, mert önmagában egy halmazon nincs értelme a fogalomnak.
Sorozatokról beszél továbbra is, amit még mindig nem definiált. A sorozat a halmaznál sokkal bonyolultabb fogalom, és erősen kötődik a természetes számok fogalmához, és attól még, hogy ezt ön nem fogadja el/nem érti, ez így van.
Egy hét azt hiszem elég volt, hogy megpróbáljam meggyőzni, több időt és energiát nem szeretnék ráfordítani, de ne lepődjön meg azon, ha nem teljesül be a jóslata: "Ezek a gondolatok át fogják formálni a matematikát." Nem, nem fogják. Ennek a matematikához semmi köze, maximum annyi, hogy matematikai szakszavakat használ.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

Sorozatokkal több fajta művelet végezhető, amelyeknek két fő csoportját kell megkülönböztetni.

1. Egy, vagy több sorozatot kombinálunk egy sorozattá valamely összerendelés szerint. Ekkor az értelmezési tartomány és az értékkészlet is sorozat. Az összerendelés a kiindulási sorozat tagok indexei szerint tagonként határozza meg az új sorozatot.

2. A kiindulási sorozat(ok) tagok/tagjainak összessége együtt határoz meg egy új objektumot, ami vagy egy szám (összeg,szorzat), vagy egy halmaz(tartalmazás,unió,metszet). Ekkor a sorozat határértékét felhasználva kell meghatározni az eredményt.

3. eset. A 2. esetet felhasználva definiálunk új sorozatot, ami valójában az 1. eset, de a 2. eset formalizmusával megadva. Ez mérhetetlen kavarodást okoz, mert későbbi hivatkozásoknál már nem derül ki, hogy az 1., vagy a 2. esettel van dolgunk.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

2. lépéshez: Nem csak létezik ilyen y elem, de megszámlálhatatlan sokaságú is.
3. lépéshez: Nem áll fenn az egyenlőség, csak a tartalmazás. X tartalmazza a természetes számokat.
4. lépéshez: Y=X\{y} csak azzal a kiegészítéssel, hogy y az összes végtelen nagy számot jelenti.
6. lépéshez: y nem természetes szám(ok), mert nem a rákövetkezéssel került(ek) az X halmazba, hanem határérték képzéssel.
A konklúzió hibás. Helyesen: Y, és X is tartalmazza a természetes számokat, de X a végtelen nagy számokat is. Y-nak nincs utolsó eleme, X-nek megszámlálhatatlan számosságú utolsó eleme van. Y nem szabályos zárt halmaz, hanem nyílt, így számossága se értelmezhető.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

"Senki nem állította, hogy a Cantor axióma objektum lenne, csupán egy olyan állítás, ami a valós számok azon tulajdonságát fejezi ki, hogy léteznek irracionális számok"

Ugyanezen ok miatt minősítette alkalmatlannak az ógörögök bizonyítását a gyök kettőről.

Másrészről nincs Cantor axióma. Igen sajátos, hogy ez Magyarországon kevésbé ismert. Cantor-féle közösrész-tétel van, amelynek többféle bizonyítása is van, illetve van a Cantor-Dedekind axióma a valós számok, és a geometriai számegyenes megfeleltethetőségéről, amit valójában René Descartes tett meg sok száz éve.

Látom kezd feltűnni önnek is, hogy szándékaim szerint következetesen a természetes számok sorozatának tagjairól beszélek, és nem a természetes számok halmazának elemeiről. Ez nem is lehet másként, mert előbb lehetséges a sorozatot definiálni, és csak azután a sorozatot magába foglaló halmazt. Sajnos a jelenleg használt axiómarendszerekben ez a szándék nem valósítható meg következetesen. Ezért kezdtem bele egy új axiómarendszer felépítésébe a legújabb cikkemben. Amíg nem érti meg, hogy a növekvő véges számosságú halmazok SOROZATÁBÓL származtatjuk a természetes számokat, addig csak elbeszélünk egymás mellett. Az már egy újabb asszociáció, hogy ezt a sorozatot hogyan akarjuk beszuszakolni valamely halmazba, és semmi köze a természetes számokhoz.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

Mindezektől eltekintve, most már, hogy többé kevésbé tudom, milyen fogalmakkal operál, jöjjön annak bizonyítása, hogy P5 ellentmond a végtelen nagy természetes számoknak.
1. lépés: Legyen X az Ön által elképzelt természetes számok halmaza, melynek létezését nem tagadja, csak azt állítja, hogy tartalmaz "végtelen természete számokat", de ettől még halmaz, tehát megfelel az "egyértelmű meghatározottság kritériumának".

2. lépés: Ön elismeri, hogy vannak olyan "végtelen természetes számok", ami nem kapható meg a rákövetkezés műveletével (ezért is van szüksége a "hatéárértékképzésre"). Tehát létezik az X halmaznak ilyen y eleme.

3. lépés: P5-öt teljesíti az X halmaz, hiszen úgy indítottunk, hogy X maga a természetes számok halmaza, tehát P1 és P2 is teljesül X-re, azaz tartalmazza a 0-t, és minden elemének létezik rákövetkezője, így tartalmazza az összes természetes számot (azaz a természetes számok halmaza részhalmaza X-nek, ami nyilvánvaló, hiszen feltettük, hogy X a természetes számok halmaza, tehát nem csak részhalmaza, hanem egyenlő is vele.

4. lépés: Legyen Y az a halmaz, amit úgy kapunk, hogy X-ből elhagyjuk az y elemet, azaz Y=X\{y}. Ha X halmaz volt, ez nyilvánvalóan halmaz, de ezt is túlragozhatjuk: Legyen A(x) az a logikai függvény, ami pontosan akkor igaz, ha x eleme a természetes számok halmazának. (Továbbra is szem előtt tartva, hogy mivel X Ön szerint is halmaz, tehát megfelel az "egyértelmű meghatározottság kritériumának", tehát az A(x) szintén, így Y-t így is írhatjuk: Y={x: A(x)=igaz és x nem egyenlő y}, ami továbbra is, ha jólmeghatározott. Tehét, Y szintén halmaz.

5. lépés: Y teljesíti P5 feltételét, mert egyrészt tartalmazza a 0-t, hiszen X tartalmazta a 0-t, és Y definiálásánál a 0-t nem hagytuk el belőle, ugyan így tartalmazza minden elemének a rákövetkezőjét is, mert y X-ben olyan elem, ami semmilyen másik elemnek sem a rákövetkezője, tehát Y is tartalmazza az összes természetes számot, azaz részhalmaza a természetes számok halmazának.

6. Lépés. y természetes szám, mert eleme a természetes számok X halmazának, viszont Y nem tartalmazza y-t, tehát az összes természetes számot sem tartalmazza, hiszen konkrétan egy adott természetes számról meg tudtuk mutatni, hogy nem eleme.

Konklúzió: Tehát Y-nak P5 miatt tartalmaznia kellene az összes természetes számot, de ezzel ellentétben ez mégsem igaz. Ezen ellentmondást az alapfeltételezésünk okozza, miszerint létezik végtelen nagy természetes szám. Ugyan ez az ellentmondás fellép, ha megengedünk bármilyen olyan elemet, amit nem kaphatunk meg a 0-ból a rákövetkezés segítségével. Az ellentmondás csak akkor kerülhető el, ha X azzal a halmazzal egyezik meg, amit én fentebb leírtam, melyet Ön nem fogad el halmazként.
Pedig bizony, bármennyire is szeretné, valójában megfelel a "egyértelmű meghatározottság kritériumának", hiszen mindenről el lehet dönteni, hogy a 0-ból a rákövetkezés műveletével el lehet e jutni, vagy nem. Nyilván egy háromszög esetében a válasz "nem", a 2536 esetében pedig "igen" a válasz.
A végtelent is elég érdekesen kezeli, egyszer teljesen magától érthetőnek veszi, és határértékképzésre hivatkozik, meg megszámlálhatatlanul végtelen természetes számok halmazáról, majd, amikor egy az Ön elméletébe nem passzoló végtelen halmazról lenne szó, már azt hozza elő érvnek, hogy "hogyan határozzuk meg az utolsó elemét, sőt bizonyítottnak látjuk, hogy nincs is ilyen elem". Miért kéne ilyen elemnek lennie? Végtelen elemszámú halmazok esetében bizony előfordul, hogy nincs utolsó eleme, ugyan úgy, ahogy az Ön képzeletében a végtelen nagy természetes számoknak sincs legnagyobbika.

Mindenesetre kíváncsian várom, hogy megmutassa, a fenti bizonyításban hol hibáztam.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

Harmadrészt, pedig ahhoz képest, hogy már megismerte "természetes számok valóságos természetét", a felmerülő problémákat igen gyakran csak ellentmondásosan tudta "megoldani", például, ön rendszeresen végtelen természetes számOKról beszél, majd kijelenti: ∞ = ∞+1 (melyről megmutattam, hogy a halmazelméleti modellel egyértelműen ellentmondásos), ezzel az Ön által határértékként felfogott végtelen természetes számból rákövetkezéssel csak saját magát tudja implikálni, így az innentől vett sorozat konstans, tehát "határértékképzéssel" sem tud újabb végtelen számokat "generálni", ami pedig ellentmondásban van a többesszámmal, és a megszámlálhatatlansággal.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

Arról nem is beszélve, hogy nagyon szereti használni a sorozat szót, amit soha nem definiált. Valószínűleg azért, mert tudja, hogy a természetes számok nélkül nem lehet, de amelyik problémáról nem beszélünk, az nincs is, ugyan úgy, ahogy a határértékfogalmát sem definiálta még egyetlen egyszer sem, csak annyit mondott, hogy ugyan azt érti rajta, mint bárki más, ezzel szemben a "bárki másféle" határértékkel szögesen ellentétben használja, például kijelenti, hogy limesz n tart végtelen egyenlő végtelen.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

A valós számoknak létezik többféle konstruktív felépítése is (végtelen tizedestörtek, Cauchy-sorozatok), illetve létezik az axiomatikus megközelítés, amely ekvivalens a fent említett konstrukciókkal, de sokkal egyszerűbbé teszi a vizsgálatukat. Senki nem állította, hogy a Cantor axióma objektum lenne, csupán egy olyan állítás, ami a valós számok azon tulajdonságát fejezi ki, hogy léteznek irracionális számok (Konstruktív esetben a valós számoknak a racionális sorozatok ekvivalenciaosztályait kellene tekinteni, sok dolog bevezetése sokkal bonyolultabbá válik)

A "rákövetkező tagra való áttérés" pontosan az, hogy ha A(k) igaz, akkor A(k+1) is igaz, minden k természetes számra, nem mond semmi mást, csak más megfogalmazást használ annak érdekében, hogy az Önnek nem tetsző rész explicit ne szerepeljen. (Az meg csak egy apró megjegyzés, hogy a számelmélet azért ennél sokkal bővebb terület)
"A rögzített K-tól igaz f(n) állítások konvertálhatók nullától érvényes állításokká f(n-K)."
Ez nyilván igaz, de ez is ellentétben van az Ön elképzelésével. Hiszen Ön (elrejtve, hogy ezt minden természetes számra igaznak kell legyen) csak azt mondja, hogy a "rákövetkezés művelete nem változtatja meg a logikai értéket", és amennyiben ez mégsem igaz, akkor beszéljünk másról, amire igaz.

A "véges természetes számok" létét Ön továbbra sem tagadja, csupán kijelenti, hogy nem halmaz, mert aluldefiniált, de, hogy miért, azt nem részletezi. A naiv halmazelmélet továbbra is megengedi a következőt:
A(n) logikai értékű függvény, ami pontosan akkor igaz, ha n "véges természetes szám", tehát az N={x: A(x)=igaz} jól meghatározott halmaz. Továbbmegyek, mivel az axiomatikus halmazelmélet szigorúbb kikötéseket tesz arról, hogy mi halmaz, és mi nem, mint a naiv halmazelmélet, tehát amennyiben lehetséges ezen halmaz megadása axiomatikusan, úgy a naiv halmazelmélet szerint is, márpedig lehetséges, ahogy azt már fentebb megmutattam.

Nem fogalmaz utolsó hozzászólásában sem egyértelműen:
"Az egész számok sorozatát tartalmazó N halmaz tartalmazza az egész számok halmazát."
Tartalmazás, mint elemeként, tehát maga a sorozat eleme az N halmaz,ank, vagy tartalmazás, mint részhalmaz, tehát a sorozat elemei az N halmaznak is elemei? (Egyébként gondolom természetes számokat akart írni.) Máskülönben, egy olyan állítást akar teljes indukcióval bizonyítani, amely nem felel meg, még az ön feltételeinek sem, mert az állítás nem "egy sorozat elemein" értelmezett logikai függvény igazságértékét akarja meghatározni minden elemre, hanem egy tőlül elkülönülő N halmazra.
Az 1. lépésben újra csak következetlenül használja a "tartalmaz" szót, mert a P5 továbbra sem azt mondja ki, hogy az N halmaz tartalmazza (elemként) a természetes számok halmazát, hanem, hogy minden természetes szám eleme az N halmaznak.
A 2. és 3. lépése nyilván az indukciós lépés lenne (de mint mondtam, az állításnak nincs köze a teljes indukcióhoz), illetve a 3. lépésben újra az "eleme" és a "részhalmaza" relációt egymással azonosnak tekinti. A 4. mondata egyszerűen értelmetlenség.

Végtelen unió. Nos, ez nem határérték a klasszikus értelemben, gondolom az "n egyenlő egytől végtelenig" jelölés téveszti meg, de ez a jelölés csupán annak az esetnek egyszerűsített jelölése, hogy U{A_i: i eleme I}, ahol I indexhalmaz, A_i, minden I eleme I-re halmaz, és ha I megszámlálható, helyettesíthető a természetes számok N halmazával. De ettől még U{A_i: i eleme I}={x: létezik i eleme I, hogy x eleme A_i}, namármost, ahogyan már korábban megtárgyaltuk, egyetlen kezdőszelet sem tartalmaz "végtelen természetes számokat", ennek az uniónak viszont minden tagja kezdőszelet, így az unió sem tartalmazhat ilyen objektumokat, és ezzel a módszerrel Ön is csupán a "véges természetes számok" halmazát kapta meg.

"A két absztrakció közötti több mint 2000 év viszont perdöntő", ezzel lényegében azt mondta ki, hogy a régi gondoltatok "igazabbak" az újaknál, tehát ezen logika alapján például a geocentrikus világkép "igazabb" a heliocentrikusnál, ami meg igazabb a jelenleginél, hiszen régebbi.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

Állítás: Az egész számok sorozatát tartalmazó N halmaz tartalmazza az egész számok halmazát.
Bizonyítás teljes indukcióval:
1. Az N halmaz tartalmazza a nulla számot, és ha P5 szerint az összes többi rákövetkezőjét is tartalmazza, akkor az egész számok halmazát is.
2. Tegyük fel, hogy N tartalmazza az n. számot.
3. Az N halmaz tartalmazza az n+1. számot, és ha az összes többi rákövetkezőjét is tartalmazza, akkor az egész számok halmazát is.
4. ??? Ez a mellékmondat nem akar eltűnni. Ez a tétel nem bizonyítható teljes indukcióval.

5. Vegyük az egész számok sorozat tagjainak végtelen unióját, és íme N halmaz tartalmazza az egész számok halmazát. De határérték képzésről lévén szó tartalmazza a végtelen nagy számokat is.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

Pontosítok. Nem a bizonyítást határoztam meg.
Teljes indukció: Egy sorozaton értelmezett logikai értéket szolgáltató függvény (számelméleti tétel) teljes indukciós bizonyításának nevezzük annak a bizonyítását, hogy a logikai érték a sorozat minden tagjára azonos. Ehhez elegendő a sorozat első tagjára meghatározni a logikai értéket, valamint azt bizonyítani, hogy a rákövetkező tagra való áttérés nem változtatja meg ezt a logikai értéket.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

"Ahogy minden geometriai objektum, a négyzet is absztrakció, semmi sem bizonyítja, hogy a valóságban létezik olyan objektum, ami eleget tesz a négyzet definíciójának"

Azt azonban tudjuk, hogy olyan objektum biztos nincs, hogy Cantor axióma. A két absztrakció közötti több mint 2000 év viszont perdöntő.

Nem határoztuk meg egyértelműen a halmazt. Meghatároztuk az első elemét, és azt, hogy ha ismerjük valamely elemét, hogyan határozzuk meg a rákövetkező KÖZBENSŐ elemét. Nincs meghatározva, hogy hogyan határozzuk meg az utolsó elemét, sőt bizonyítottnak látjuk, hogy nincs is ilyen elem. Ezáltal a halmazunk alulhatározott. Nem felel meg az egyértelmű meghatározottság kritériumának. Emiatt nem is lehet halmaz. P5 csak felveti ennek lehetőségét.

A rögzített K-tól igaz f(n) állítások konvertálhatók nullától érvényes állításokká f(n-K).

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

@Takács Ferenc bp.:
Ahogy minden geometriai objektum, a négyzet is absztrakció, semmi sem bizonyítja, hogy a valóságban létezik olyan objektum, ami eleget tesz a négyzet definíciójának, tehát ez csupán annyit magyaráz, hogy az euklideszi geometria tárgyalásához szükség van az irracionális számok bevezetésére. Arról nem is beszélve, hogy a fizika jelen állása szerint a világot nem lehet leírni euklideszi geometriával, maximum lokálisan jól közelíti. De ez még mindig semmit nem változtat azon a tényen, hogy a valós számok axiomatikus tárgyalásához szükség van a Cantor axiómára, ami biztosítja az irracionális számok létét.
Ez az egész arra hasonlít, mint ha azt mondanánk, hogy a képzetes számok azért léteznek, mert a gyök -1 nem lehet valós szám. Az már egy másik kérdés, hogy konzisztens elmélet állítható fel ezek bevezetésével, de alapvetőleg csak annyit tesz, hogy az adott struktúrán nincs értelme a műveletnek minden elemre.

Senki nem is mondta, hogy konstrukció, csupán egy olyan fogás, amit a naiv halmazelmélet megenged (és az axiomatikus is). Egy halmazt egyértelműen meghatároznak az elemei, tehát ha mindenről egyértelműen meg tudom mondani, hogy eleme egy halmaznak, vagy nem, akkor az egyértelműen meghatározza a halmazt. A "véges természetes számok" létét ön sem tagadta, csupán kijelentette egyik cikkében, hogy az nem halmaz, mindenféle indoklás nélkül.

A bizonyításnak szintén megvan a maga definíciója a matematikai logikában (aminek a hozzászólásai alapján nem elképzelhetetlen, hogy az alapjaival sincs tisztában). Az meg egyszerűen nem igaz, amit utána az indukcióról állít, vannak példák, amikor A(0) nem igaz, vagy akár A(1), A(2), stb, de egy rögzített k-tól már A(k) mind igazm és ez nem történhetne meg, ha a "rákövetkező elemre áttérés nem változtatja meg ezt a logikai értéket". A lényege pont az, hogy azt látjuk be, hogy minden ktermészetes számra igaz, hogy ha A(k) akkor A(k+1) is igaz, függetlenül még A(0) igazságától, de ha ez a kettő együtt teljesül akkor minden természetes számra A(n) igaz lesz.
Ön nem érvel, nem bizonyít, csak állításokat tesz, és állításait semmilyen logikai láncal nem támasztja alá.
Ezen cikke frissítésébe is képes volt egyetlen mondatban orbitális ellentmondást állítani:
"Az egyetlen művelet amellyel a természetes számok bármelyikét elérhetjük az a rákövetkezés művelete, de az, mint látjuk alkalmatlan arra, hogy minden természetes számot elérjünk" Most vagy ez az egyetlen, és akkor alkalmas, vagy nem az egyetlen.
Érveim cáfolatát is legtöbbször elintézte úgy, hogy "Ön csak hiszi" vagy "nincs igaza", vagy ha próbálkozott valamivel, abból is csak az derült ki, hogy az elemi halmazműveletekkel sem bánik készségszintűen, és miután erre rávilágítottam, hogy az, amit ön a bizonyításomban hibának vélt, nem hiba, csak annyit mondott, hogy lényegtelen.
Jelenleg az elméletét így lehetne megfogalmazni:
"Léteznek végtelen természetes számok, mert Én azt mondom, de mivel a rákövetkezés műveletével ezek nem érhetőek el, létezik egy határértékfogalom, amiről nem mondom meg, hogy micsoda, de következik az axiómákból azért, mert Én azt mondom."

Az index fórumon írta: "Én nem vagyok jártas a matematikai nyelvészetben". Na már most, ha valaki nem tud dánul, akkor az hiába is próbál meg dán regényt írni, az nem lesz se dán, se regény, csupán egyszerű zagyvaság.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

A gyök kettő irracionalitása azt bizonyította, hogy a négyzet átlója nem racionális, tehát LÉTEZNEK ilyen számok. Ahogyan azt is tudták, hogy mely téglalapok átlóit lehet, illetve nem lehet racionális arányokkal leírni (pithagoraszi számhármasok). Az oldalak hossza nem befolyásolja a téglalapok egzisztenciáját.

A 2. lépés az axióma megismétlése a 'ha 'szó felcserélésével 'legyen'-re. Ez nem konstrukció. Az A halmaz nincs megkonstruálva. P2 szerint a rákövetkezés definiálva van végtelen esetre, de nincs definiálva, hogy ez a végtelenség hogyan tud befejeződni. Enélkül pedig a definíció nem teljes, a P5 egy olyan eshetőséget vet fel, amelynek megvalósíthatósága nincs sehol definiálva.

A halmaz definiálására a végtelen unió kínálja az egyetlen ismert lehetőséget. Ez pedig a végtelen nagy számokat is a halmazba teszi a határértékképzés megjelenése miatt.

Teljes indukció: Egy sorozaton értelmezett logikai értéket szolgáltató függvényt bizonyításnak nevezünk, ha a logikai érték a sorozat minden tagjára azonos. Ehhez elegendő a sorozat első tagjára meghatározni a logikai értéket, valamint azt bizonyítani, hogy a rákövetkező elemre áttérés nem változtatja meg ezt a logikai értéket.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

@Takács Ferenc bp.:
A gyök kettő irracionalitásának bizonyítása csupán annyit állít, hogy HA létezik olyan szám, aminek a négyzete egyenlő kettővel, akkor ez nem lehet racionális, de ezen számok létezését akkor is a Cantor axióma biztosítja.

Amennyiben csak azt hiszem, hogy bizonyítottam, mutassa meg melyik lépés hibás:

0. lépés: Beszélhetünk a természetes számok halmazáról, mert mint ön állította, a naiv halmazelmélettel nincsen semmi probléma, tehát beszélhetünk olyan halmazról, ami pontosan bizonyos tulajdonságokkal rendelkező elemeket tartalmaz, illetve a az axiomatikus halmazelmélet is megengedi olyan konstrukciót, melyre igazak az Peano axiómák.

1. lépés: Az axiómák megfogalmazása:
P1: 0 ∈ N
P1: Ha n ∈ N, akkor n+1 ∈ N
P3: Nem létezik olyan n ∈ N, hogy n+1=0
P4: ha n+1 = m+1 akkor n=m
P5: (ha 0 ∈ X és ha x ∈ X, akkor x+1 ∈ X) akkor N ⊂ X

2. lépés: Legyen A az a halmaz, melyre 0 ∈ X és ha x ∈ X, akkor x+1 ∈ X, és minden elemére teljesül, hogy a 0-ból a rákövetkezés műveletével eljuthatunk.

3. Lépés: P5 szerint, N ⊂ A.

5. Lépés: Mivel A eleme vagy a 0, amely P1 szerint természetes szám, vagy olyan, ami egy természetes szám rákövetkezője, így minden eleme természetes szám, tehát A ⊂ N.

6. lépés: Mivel N ⊂ A és A ⊂ N ezért A=N. Tehát az összes természetes szám olyan, mely a 0-ból a rákövetkezés iterálásával megkapható (és mint Ön is mondta a végtelen a rákövetkezéssel nem megkapható, így nem is lehet természetes szám)

A Teljes indukció elve a következő:
Adott egy állítás, melynek igazságértéke a természetes számok függvénye, jelölje ezt A(n).
Amennyiben A(0) igaz, és minden k természetes számra igaz, hogy A(k) igazságából következik A(k+1) igazsága, úgy minden n természetes számra A(n) is igaz.
Nem állíthatnánk, hogy minden természetes számra igaz az állítás, ha nem kaphatnánk meg minden természetes számot a 0-ból a rákövetkezés iterálásával, mert pont azt állítja, hogy ha igaz az A állítás a 0-ra, és ha igaz egy természetes számra, akkor a rákövetkezőre is, akkor igaz minden olyan természetes számra, melyet megkaphatunk a rákövetkezés iterálásával a 0-ból. Nem lehet csak úgy "megfogalmazni, és kész", hiszen már az elv kimondásában szerepel a természetes szám fogalma.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata

"az irracionális számok létét nem a határérték definíciója okozza, hanem az előbb említett Cantor axióma."

Súlyos tévedés. A püthagoreusok azon felfedezése bizonyítja létüket, hogy rájöttek; a gyök kettő nem racionális. A többi már csak díszítés.

Csak azt hiszi, hogy megmutatta a természetes számok halmazának létezését.

Arra mondtam hogy nincs jelentősége, hogy P5 konstruálni akarja a természetes számok halmazát, vagy csak kijelenti, hogy az adott tulajdonságú halmaz tartalmazza ezt a halmazt. Legalább is abból a szempontból mindegy, hogy mindkét eset szükségessé teszi a határérték képzés elvégzését, amennyiben feltételezzük, hogy egy ilyen halmazzal dolgozunk. Csak akkor állíthatunk olyat, hogy egy halmaz tartalmazza egy sorozat minden tagját, ha a tagok végtelen unióját vesszük, ami tartalmazza a határérték képzést.

A teljes indukció megfogalmazásához nincs szükség körmönfont kerülőkre, halmaz kifejezésekre. Meg kell fogalmazni, és kész. Ez már az általános iskolában is működik. A teljes indukció sorozatokra vonatkoztatható, és nem halmazokra.

Bejegyzés: A Cantor-tétel cáfolata