A Russell paradoxon:

Tekintsük az összes önmagukat nem tartalmazó halmazok G gyűjtőhalmazát. Vajon ez a G gyűjtőhalmaz tartalmazza-e önmagát? A kérdés eldönthetetlen. Ugyanis ha nem tartalmazza, akkor ez egy olyan halmaz, amelyik nem tartalmazza önmagát, tehát a gyűjtőhalmazban, vagyis önmagában a helye. Na de ha emiatt tartalmazza, akkor már nincs helye a gyűjtőhalmazban, vagyis önmagában. (Itt, és később a gyűjtőhalmaz minden adott tulajdonságú halmazt kivétel nélkül tartalmaz.)

Cantor tétel bizonyítás:

Cantor bizonyításában szerepel egy f(n) hozzárendelés létezésének feltételezése egy A halmaz elemei és azok részhalmazai között. A leképezés a cáfolandó azonos számosság definíciójának igénye szerint egy-egy értelmű, tehát a leképezés valamely A halmaz, és annak H(A) hatványhalmaza között áll fenn. Cantor bizonyításában szerepel még egy X halmaz, amely azon x ∈ A halmazelemekből áll, amelyek nincsenek benne a nekik megfelelő f(x) részhalmazban. X = { x : x ∈ A ˄ x ∉ f(x) }. De ha X halmaz is a H(A) hatványhalmaz eleme, úgy kell lennie egy x∈ A halmazelemnek, amelyre f(x) = X, azonban ez ellentétes az X halmaz definíciójával.

Analógia:

Az X halmaz megfelel G halmaznak. Ugyanis bármely n ∈ A elemnél az egy-egy értelmű f(n) hozzárendelés szerint n megfelel egy N=f(n) halmazra való hivatkozásnak, és ezért az X halmaz definíciója megfelel az önmagukra nem hivatkozó halmazok definíciójának az A alaphalmaz keretein belül. Tehát az analógiában két, a lényeget nem befolyásoló eltérés van. Az egyik eltérés, hogy Cantor bizonyításában csak az A halmaz elemeire korlátozzuk a tárgyalást. A másik eltérés, hogy az n halmazelemeket az f(n) hozzárendelés szerint összerendeltük egy részhalmazzal, ezáltal A bármely részhalmazának elemei is egyben a H(A) hatványhalmaz részhalmazaiként is értelmezhetőkké válnak, másképpen szólva az önmagukat nem tartalmazó halmazok fogalma helyébe az ezzel teljesen analóg önmagukra nem hivatkozó halmazok fogalma kerül. A paradoxon logikája szempontjából ugyanis lényegtelen, hogy az öntartalmazást önhivatkozásra cseréljük, tehát, hogy egy X halmaz A halmazbeli  n elemeket tartalmaz, vagy az ezekhez egy-egyértelműen hozzárendelt f(n) részhalmazokat. És természetszerűleg Cantor pontosan ugyanazzal érvel, mint Russell, vagyis az önmagukat nem tartalmazó halmazok gyűjtőhalmazának definíciója ellentmondásra vezet. Az ellentmondás azonnal nyilvánvaló, ha a Cantor tétel X halmazának önellentmondó definícióját így írom fel:

X = { x : x ∈ A ˄ x ∉ X=f(x) }

Ez egyszerűsítve (A és f(x) elhagyásával):

X = { x : x ∉ X }

Az önellentmondás nyilvánvaló: X azon elemekből áll, amelyek nem elemei X-nek.

Korabeli következtetések:

Russell értelmezői szerint a naiv halmazelmélet ellentmondást tartalmaz, ezért el kell vetni a használatát.

Cantor szerint az f(n) leképezés nem létezik, tehát a hatványhalmaz nem lehet azonos számosságú.

Az én következtetéseim:

Semmi baj a naiv halmazelmélettel. Az ellentmondás a paradoxon megfogalmazásában van, és nem a halmazelméletben. Az analógia, ami tehát egy egy-egy értelmű megfeleltetést tesz lehetővé a két példa között, azt jelzi, hogy mind a két esetben ugyanaz a logikai ellentmondás lett beletéve különböző környezetekbe, de ezeknek a környezeteknek semmi köze az ellentmondáshoz. Ha a tartalmazás feltétele a nem tartalmazás, akkor az egy ellentmondásos követelmény, és ennek az ellenmondásnak semmi köze a halmazelmélethez, csupán egy hamis állítás. Formálisabban fogalmazva a G = { g : g ∉ G } kifejezés önellentmondó, és ez a tény vezet ellentmondásra mind a Russell paradoxon, mind a Cantor tétel esetén. A Russell paradoxonban az önellentmondás csak akkor jelentkezik, ha G = g. Az ellentmondás megszűnik, ha ezt a lehetőséget megtiltjuk, tehát G = { g : g ∉ g ˄ g ≠ G } korrekt halmazdefiníció, és tisztábban látszik az önellentmondás, ha csak ezt az esetet vesszük: g = { g : g ∉ g }.

Cantor tétel bizonyítása a Russell paradoxonnal érvel, de a paradoxon nem hivatkozik semmiféle hatványhalmazra, így az ellentmondás kimutatásából nem lehet következtetni a hatványhalmazzal kapcsolatos megfeleltetés nemlétezésére. A megfeleltetésnek csupán az a szerepe, hogy segítségével lehet megfogalmazni a Russell paradoxon problémáját. A Cantor tétel bizonyítása az önmagukat nem tartalmazó halmazok gyűjtőhalmazának ellentmondásosságát mutatja meg, akárcsak Russell. Az f(n) leképezésnek csupán annyi a szerepe, hogy lehetővé teszi a halmazoknak, a halmazok elemeinek, és azok részhalmazainak az azonosítását, és az eleme, illetve részhalmaza halmazműveletek kiváltását az egy-egy értelmű megfeleltetés révén a részhalmazra való hivatkozásokkal.

Mivel tehát a paradoxon nincs összefüggésben a halmazok és hatványhalmazaik közti megfeleltetéssel, így nem is lehet ezek eltérő számosságára következtetni a paradoxonban rejlő ellentmondásból. Cantor tétele tehát nincs bizonyítva.

A Russell paradoxonnak számos egyéb analóg megfogalmazása van, amelyek esetében szintén nem a környezettel van baj, hanem az alkalmazott logikai sémával. Ilyen kérdések például, hogy az önmagukra nem hivatkozó könyvtári katalógusok katalógusa hivatkozzon-e önmagára, vagy a magukat nem borotválókat borotváló borbély borotválja-e önmagát? De minden jel szerint ide sorolható a Richard paradoxon, vagy a Cantor féle átlós bejárás módszere is.

A halmazelmélettel szemben támasztott követelmény, miszerint ne lehessen hamis állítást megfogalmazni ugyanaz, mint hogy ne lehessen emberi nyelvben hazudni. Irreális, egyértékű logika. Nincs helye a matematikában.

További ellenérvek az analógia ellen és azok cáfolata

A napokban (2012.08.22.) az interneten találtam egy cikket, amely első részében ezzel az analógiával foglalkozik, és lényegében azt állítja, hogy az analógia azért nem használható, mert a Cantor tétel bizonyítása egy konkrét, definiálható halmazról szól, amíg a Russel paradoxon csak az általánosan használt összes halmazról, ami nem is definiálható, mert az összes halmaz halmaza önmagában is ellentmondásos fogalom. (A cikk második része, amely egy vitatémához kapcsolódik, most nem érdekes.)

Sajnálatosan a cáfolat említett állítása több ponton is hamis. Egyrészt a Cantor tétel bizonyítása tetszőleges halmazra vonatkozik, és nem egy konkrét halmazra, másrészt Russell paradoxona akkor is paradoxon marad, ha nem az összes halmazról fogalmazzuk meg, hanem tetszőleges halmazokról.

Tehát például ha vesszük a H = { A,B : A={A,C}, B={C} }  halmazrendszert, és ehhez akarjuk hozzáadni azt a D halmazt, amely H azon elemeiből áll, amelyek nem tartalmazzák önmagukat, ugyanilyen paradox helyzetbe kerülünk. Hiszen ekkor D halmaz is H elemévé válik, amely vagy tartalmazza magát, vagy nem, de akármelyik esetet vesszük, az ellentétes lesz D halmaz definíciójával. Tehát mind a D={B}, mind D={B,D} választás hamis. Ez is Russell paradoxona, csak itt most egy véges esetre megfogalmazva. De hozhatnánk az ugyancsak ismert, és ugyancsak véges könyvtári katalógusok példáját, amelyet már csak azért is érdemes megemlíteni, mert ezen példában is a tartalmazás fogalma felcserélődik a hivatkozás fogalmára.

 Mivel a Cantor tétel alkalmazásának legfontosabb esete éppen a természetes számokra vonatkozik, amelyről bebizonyítottam, hogy vagy nem alkotnak halmazt, csak egy sorozatot, és ez esetben Cantor bizonyítása nem használható, vagy ha halmaznak tekintjük őket, akkor ez a halmaz tartalmazza a kontinuum számosságú végtelen nagy számokat is, így éppen a Cantor tétel bizonyítása hivatkozik olyan halmazra, amelynek definíciója ellenmondásos. Ennek persze épp úgy nincs jelentősége, mint a Russell-paradoxonnál feleslegesen említett összes halmazok halmazának. Hiszen mind a Russel paradoxon, mind vele analóg Cantor tétel bizonyítása logikailag hibás, mivel önellentmondó feltevéseket tesz valamely halmaz definíciójában.

Budapest, 2012. július 19. Takács Ferenc bp.