Georg Cantor 1891-ben publikálta tételét a hatványhalmazok nagyobb számosságáról, amely tétel átformálta a matematikát. Ezzel a tétellel együtt indította meg Cantor a matematika halmazelméleti megalapozását, amely tendenciát még a naiv halmazelmélet zátonyra futása sem tudott feltartóztatni. A Cantor-féle naiv halmazelméletet így később felváltotta a különféle axiomatikus elméletek csokra, amelyekről már csak a felső szintű szakirányú matematikai képzésben résztvevők tanulnak részleteiben. De mindeme axiomatikus elméletek kimondva, vagy kimondatlanul szervesen ráépültek Cantor tételére, és naiv halmaz szemléletére.
Immár 121 éve, hogy Cantor publikálta tételét, és bizony nem csoda, hogy ha most kijelentem, és bizonyítom, hogy Cantor tétele hibás, akkor ennek elfogadása, és belátása igen nagy ellenállásba ütközik. Bár a Cantor tétel tarthatatlansága már 2001 februárban nyilvánvalóvá vált számomra egy internetes fórumon való vitában, de még ma sem csodálkozom azon, hogy ilyen nehéz ennek közlése. Ha a kérdés egyszerű lenne, nem kellett volna eltelnie 121 évnek, hogy az itt tárgyalt problémák feltörjenek. Így hát ne számítson senki nagyon könnyen megérthető összefüggésekre, mindenesetre a megértésemhez nincs szükség különlegesen magas szintű matematikai szakképzettségre, így bárki, akit érdekel a matematika, érdekes kérdésekkel találkozhat itt.
Bár jobb szerettem volna, ha írásom egy magyarországi matematikai szaklapban jelenik meg, nem pedig a saját blogomban, azonban a szerkesztő úr szerint írásomnak nincs tudományos értéke, és hemzseg a pontatlanságoktól. És bár a szerkesztő úr szakértelméhez nem fér semmi kétség, azonban levelezésünkben hét levélváltás után sem tudott semmiféle cáfolatot felhozni állításaim ellen, és persze így meggyőzni sem tudott engem, sőt tulajdonképpen, nem is igazán próbálkozott ezzel. Az is igaz, hogy a Cantor tétel cáfolatával azon állítás, hogy az egyre nagyobb végtelen nagy számosságok is végtelen sorozatot alkotnak, a legfőbb, és egyetlen elméleti támaszát is elveszítette, és így az erre épülő matematikai ágak, amiknek művelője a szerkesztő úr is, teljes rekonstrukcióra szorulnak.
Ezzel szemben levelezésünkben néhány érdekes téma is szóba került a matematika mibenlétét illetően, amelyben ugyancsak jelentősen eltér az álláspontunk, így levelezésünk ezen részéből is szemezgetni szándékozom a következőkben. Annál is inkább, mert a szerkesztő úr álláspontja nem egy elszigetelt vélemény, hanem a korábbi internetes vitáim alapján úgy vélem, túlnyomóan a matematika jelenlegi hivatalos megítélését is jellemzi. Meglátásom szerint a matematika elméleti megalapozottságának eme hibás megítélése súlyosan megnyomorítja a matematikai gondolkodást.
Talán néhány évvel korábban nem blogírásra adom a fejem, hanem más matematikai szaklapoknál próbálkozom kilincselni, de időközben annyira megváltozott a szellemi világunk működése az internet globális elterjedtségének köszönhetően, hogy én is ezt az új, egyszerűbb, és talán hatékonyabb utat választom gondolataim terjesztéséhez.
Először is itt megtekinthető az eredeti cikkeim magyar (A Cantor tétel cáfolata) és angol (The refutation of Cantor's theorem) nyelvű verziója, amelyek megfogalmazásához már 2011 őszén kezdtem hozzá, és májusban készültek el. Az írást meglehetősen lelassította az angol nyelvvel való gyengécske viszonyom, így azt a szövegegyszerűsítő utat követtem, hogy amit képes voltam angolul is megfogalmazni, azt írtam le magyarul is. Megjegyzendő, hogy a végtelen létra példája egy korábbi vitapartneremtől, Bódi Zoltántól (ksh.hu) való. A cikkel kapcsolatban megfogalmazódott leggyakoribb ellenvetések bírálatával külön is foglalkozom (Páros számok részhalmazának sorszáma). Egy igen meglepő következményről külön is írok (A racionális számok halmaza a valós számok halmaza is). Olvasható az angol változat is (The set of rational numbers equal with set of real numbers).
A szerkesztő úrral való levelezésem közben épp a legutóbbi levelemben újabb érvekre is rájöttem a Cantor tétel cáfolatával kapcsolatban, így az utolsó fejezetet második bekezdését most már másképpen írnám, mivel az az új érvem miatt okafogyottá vált, de ezt inkább más helyen (Russell-Cantor analógia) részletezem.
De legérdekesebb, és a közérdeklődésre leginkább számot tartó talán a matematikáról való véleményem, amit a szerkesztő úrnak legutóbb írt levelemben (Mi a matematika) foglaltam össze. Természetesen a szerkesztő úr nézetei, és véleménye ebből a levélből nem derül ki, de nem is célom ennek ismertetése, hiszen pontosan az a célom, hogy a matematika szerintem helyes megítéléséről, és elméleti megalapozásáról értekezzek. Mivel a szöveget e-mail-ből emeltem át, a sor eleji függőleges vonal a szerkesztő úr leveléből vett idézet, a sor eleji két függőleges vonal pedig az én korábbi levelemből vett idézet.
Az eddig leírtakból az a következtetés is levonható, hogy a Russell paradoxon nem a halmazelmélet fiaskója, hanem egy elszigetelt ellentmondó logikai példa, és hogy ez a paradoxon a hibás Cantor tétellel együtt olyan fölösleges tévutakra hajtotta a matematika fejlődését, amelyekre semmi szükség nem volt, még ha mindemellett, és ezen hibák ellenére is számos eredményt fel tudott mutatni.
Továbbá le kell vonni azt a következtetést is, hogy a sorozat fogalma nem egyeztethető össze a halmaz fogalmával, és minden ilyen próbálkozás szükségszerűen szüli az ellentmondásokat.Bár semmi elvi akadálya annak, hogy a sorozatot is halmazként kezeljük, csak hát ez a legkülönbözőbb, és legváratlanabb helyeken bosszulja meg magát. A teljes indukcióra épülő legelemibb állítások egész sora ellentétes a halmazelméletre épülő állításokkal, de ahelyett, hogy ebből levonnánk a szükséges következtetést, erőszakot veszünk a logikus gondolkodásunkon, és kibúvókat gyártunk, miképpen lehetne mégis ragaszkodni egy tévhithez.
Ezt a blogot egy konstruktív matematikai vita számára szándékozom elindítani. Mivel eddig nem kaptam sem érdemleges bírálatot, sem elismerést, így remélem, ezek valamelyike hamarosan meg fog történni. Ezért minden érdemleges hozzászólást várok, és szívesen veszek. Mivel szeretném a vita színvonalát megőrizni, így csak azokat a hozzászólásokat hagyom meg, amelyek mentesek a személyeskedésektől, sértegetésektől, és valóban érdemlegesek, tehát vagy az érvelésben valódi matematikai gondolatokat tartalmaznak, vagy a cikkbeli gondolatokkal más módon érdemben kapcsolatosak. Privát levél küldése is lehetséges a takacs.ferenc.bp@freemail.hu címre.
A személyeskedés merüljön ki annyiban, hogy 1981-ben végeztem az ELTE programozó matematikus szakán, és azóta is számítógépes programokat írok. Előtte 1975-ben megnyertem a szakmunkástanulók országos matematikai versenyét, és ez a számomra is meglepő fejlemény irányította a figyelmem a matematika felé.
Mivel csak néhány cikket fordítottam angolra, így a többi gondolat sajnálatosan csak magyar nyelven hozzáférhető. Remélem ez is megváltozik a jövőben, de ez irányban még csak keveset tettem.
Mivel viszonylag szűk körben tudom csak felhívni a figyelmet a gondolataimra, így szeretném kérni az olvasóimat, hogy amennyiben érdekesnek találják írásaimat ajánlják ismerőseiknek is ezt a blogot, különben éppen úgy titokban marad létezése, mint megszületése előtt. Terjeszd, vagy cáfold! Ugye nem akarod kívülállóként elhallgatni? Aki hozzáértő, és egyet nem értése ellenére hallgat, az akarata ellenére valójában megerősíti az itt leírtak igazságát. Ez a fajta hallgatólagos elismerés persze elég méltatlan velem, és a matematikával szemben.
Újabb fontos változások
A forum.index.hu internetes fórumon kisebb diskurzus alakult ki az elméletemről. Egyik vitapartnerem, szzoltan83 felhívta a figyelmem, hogy a konvergens sorozatokból képzett halmazok nem produkálnak megszámlálhatatlanul végtelen halmazokat, azok számossága nem kontinuum. Ez teljesen igaz állítás, amit nem vettem figyelembe korábbi cikkeimnél, így azok ebben a vonatkozásban hibás állításokat tartalmazhatnak. Ezeket rövidesen ki fogom javítani. Egy új elméletnél ezek a gyerekbetegségek elkerülhetetlenek. Amíg az összes lehetőséget számításba vesszük, az eltart egy ideig. Mivel az elmélet fókuszában a divergens sorozatok álltak, így a konvergens sorozatokkal eddig nem foglalkoztam. Az külön megemlítést érdemel, hogy a probléma felmerülésében a külső segítségnek döntő szerepe volt, enélkül nem lehet tudni, erre a felismerésre mikor jutottam volna. A konvergens sorozatokból kapott halmazok számosságát ideiglenesen "megszámlált végtelennek" nevezem, megkülönböztetésül a sorozatok, és a kontinuum halmazok megszámlálható, illetve megszámlálhatatlan számosságától. Az a kérdés, hogy ez az új számosság megegyezik-e valamelyik régivel, még eldöntendő kérdés.
2013. június 24.
A konvergens sorozatokat tartalmazó halmazok kérdését végül sikerült tisztáznom. Azok ugyancsak megszámlálhatatlanok, bármely más végtelen sorozatot tartalmazó halmazhoz hasonlóan. Csak megszámlálható, és megszámlálhatatlan végtelenség létezik. A végtelen sorozat egyik vége a nullával kezdve, és a véges tagokon folytatódva megszámlálható, rendezett végtelenséget mutat. Ugyanennek a sorozatnak a másik vége a végtelen, amely megszámlálhatatlan, és rendezhetetlen. A végtelen láncolat ezen végét akkor kapjuk meg eredményül, ha a sorozatot halmazba foglaljuk, vagy olyan aritmetikai, vagy halmazműveletet végzünk, amelyhez a sorozat minden tagját fel kell használnunk, vagyis határérték képzést hajtunk végre. A lánc végtelen végének megszámlálhatatlan végtelensége mind konvergens, mind divergens sorozatokra érvényes, de konvergens sorozatoknál a megszámlálhatatlan számosságú végtelen nagy számokból álló indexhalmaz egyetlen egy elemet indexel, a konvergens sorozat határértékét, míg divergens sorozatoknál a végtelen nagy indexekhez tartozó határérték elemek különbözőek, és számosságuk így szintén megszámlálhatatlan számosságú.
2016. október. 4.
