Többen észrevételezték, hogy azon egy-egy értelmű H(n) leképezésem, amely a természetes számok sorozatát a természetes számok hatványhalmazainak sorozatára képez, bár valóban egy-egy értelmű, mégsem teljes, mivel csak a véges halmazokra működik, de nem működik a végtelen részhalmazokra, például a páros számok halmazára sem.
Emlékeztetőül, a H(n) leképezés az n természetes szám kettes számrendszerbeli (bináris) felírásának helyi-értékeinek sorozatához rendeli a természetes számok sorozatát, és ha az n szám adott i helyi-értéke egyes, akkor az n számhoz tartozó részhalmaz tartalmazza az i számot. Mivel pedig mind a természetes számok sorozata, mind pedig a helyi-értékek sorozata egyként megszámlálhatók, így a hozzárendelés egy-egy értelmű.
(Megjegyzés: Hasonló hozzárendelés tetszőleges k alapú számrendszerben is működik, de ekkor nem a bináris "eleme", "nem eleme" logikai értéket rendelhetjük a helyértékekhez, hanem tetszőleges k különböző, vagy k-ban kódolt tulajdonságot. Így tehát bármennyi megszámlálható k tulajdonsággal felruházott objektum tetszőleges részhalmaza leírható egyetlen természetes számmal.)
Na de térjünk vissza az ellenvetéshez. Mi a helyzet például a páros számok halmazával? A kérdésre kétféle válasz adható.
1. Ahogyan a cikkemben írtam, a véges természetes számok halmaza nem létezik, így nem létezik a véges páros számok halmaza sem, így nem jogos igény, hogy ilyen nem létező halmazokra való leképezést elvárjunk a H(n) függvénytől. A természetes számokat bármely axiomatikus rendszerben egy véget nem érő sorozatként definiáljuk, még ha közben halmaznak is tituláljuk, és ennek halmazzá minősítése ellenmondásban van a sorozatelemek véges voltával. A páros számok fogalma éppen így csak egy sorozatot takar, amelyet az f(n)=2*n kifejezéssel definiálunk, emiatt a páros számok sorozata sem halmaz, éppen úgy ahogyan semmilyen sorozat sem az. És ahogyan a természetes számok hatványhalmaz sorozatához létezik a H(n) megfeleltetés, úgy ugyanez a megfeleltetés kiterjeszthető bármely sorozatra. Például a H(∑4i) behelyettesítéssel a páros számok kezdőszelet halmazait kapjuk, ha nullától bármely véges n számig összegzünk. Természetesen ez esetben a sorozat megszámlálhatóan végtelen, mint minden sorozat általában.
2. Mint írtam egy ilyen sorozat halmazzá minősítése ellentmondásban van a sorozatelemek véges voltával. De ha a végesség igényéről lemondunk, úgy a határértékképzés fogalmát felhasználva kaphatunk sorozatból halmazt, de ekkor az eredeti véges sorozattagok csupán a bevezető torlódási pontját képezik a kontinuum számosságú végtelen nagy tagok halmazának. Ez esetben létezik tehát a természetes számoknak is halmaza, vagy a páros számoknak is halmaza, amelyek azonban végtelen nagy számokat is tartalmaznak. A végtelen nagy pozitív egész számok fogalmának bevezetésével a H(n) leképezés is kiterjeszthető ezen halmazokra. Például a páros számok hatványhalmazát leírhatjuk ezzel: H(...101(2)). Az aláhúzással jelöltem az ismétlődő tagokat, és természetesen a bevezető három pont a végtelen ismétlődésen túl a határértékképzést is jelentik, akárcsak a tükörleírásban megszokott végtelen tizedes törtek esetében. E kiterjesztés miatt, amely kiterjesztés a leképezésnek mind az értelmezési tartományát, mind az értékkészletét érinti, ugyancsak az állítható, mint a sorozat esetében, hogy a halmaz, és hatványhalmaza azonos számosságú.
Nyilván a sok új dolog, amivel a szokásos matematikai szemlélettel bíró olvasó találkozott eddig, nehezen befogadható egy szuszra. Ezért javaslom alaposan végiggondolni mindenkinek a végtelen létrás példát. Ebben a példában ugyanis nem csupán az értékkészlet alakulását figyelhetjük meg a határértékképzés során, hanem az értelmezési tartományét is. Ugyanis a határértékképzés az az egyedüli művelet, amely összeköttetést jelent a megszámlálható sorozatok, és a megszámlálhatatlan kontinuumok között. De mivel a sorozat csupán megszámlálható, így a sorozatok egyetlen véges tagja sem képez a határértékre. Következésképpen ezt a szakadékot csak a végtelen nagy pozitív egész számok tudják áthidalni. És persze csak a megszámlálhatatlan végtelen nagy tagok segítségével válhat egy sorozat halmazzá.
Ugyanezen okok miatt a természetes számokból származtatott többi számtípusnál is újszerű, és meglepő eredmények adódnak, gyakorlatilag automatikusan. Például a racionális számok is csak megszámlálható sorozatot alkotnak, ami persze eddig is tudott volt. De ezután jön a meglepetés. Mivel a sorozat nem halmaz, így ha a racionális számok sorozatának határértékét vesszük, úgy megkapjuk a valós számok megszámlálhatatlan halmazát, vagyis minden racionális számokból alkotható konvergens sorozatok határértékeit. Ez néhány helyen az analízis felülvizsgálatát is szükségessé teszi, mivel nyilvánvaló képtelenséggé válik az összes racionális szám fogalma, hiszen az összes racionális számhoz ugyanúgy a határértékképzéssel juthatunk, mint a valós számokhoz, vagyis mire megkapnánk az összes racionális számot, addigra azok már valós számmá válnak.
Kiegészítések (2012.08.22)
Időközben Makai Endre is próbálta gondolataimat megcáfolni e-mail-ben, de levelezésünk félbemaradt anélkül, hogy meggyőztük volna egymást. Amit érdemes kiemelnem levelezésünkből, egyrészt az a hibás, bár már Cantor által is hangoztatott állítás, hogy a Cantor féle átlós bejárás is bizonyítja a hatványhalmaz nagyobb számosságát, másrészt a végtelen nagy egész számok létezésének kategorikus tagadása.
Ez utóbbiról csak azt írhatom, hogy valamikor sem a nulla, sem a negatív számok nem léteztek, a valós, és komplex számokat nem is említve. Tehát az, hogy eddig a végtelen nagy számokról nem írt más, az semmit nem jelent, mivel én írtam róluk, és egyértelműen definiáltam őket, ráadásul azt is bebizonyítottam, hogy határértékképzésnél az értelmezési tartomány tartalmazni fogja ezt a kontinuum számosságú halmazt a határértékben. Tehát a végtelen nagy számok nem pusztán a definícióm által léteznek, hanem egy objektíven eleve létező halmaz, amelynek létezését én csak felfedeztem.
A Cantor-féle átlós eljárás a valós számok megszámlálhatatlanságát hivatott bizonyítani, és semmi köze ahhoz, hogy a természetes számok hatványhalmaza nagyobb számosságú, vagy sem. Mert mi is ennek az analógiának az alapja? A [0,1] intervallumbeli valós számokat reprezentálni lehet akár végtelen tizedes törtekkel, akár kettes számrendszerbeli végtelen kettedes törtekkel. A kettedes törtek pedig reprezentálhatják a természetes számok részhalmazait hasonlóan, ahogyan én a részhalmazokat a bináris számokhoz rendeltem fentebb, tehát minden helyi-értékhez rendelhetünk egy természetes számot, és ha itt egyes áll, úgy ez a szám eleme a részhalmaznak, különben nem. A különbség annyi az én leképezésemhez képest, hogy én az egész részt használtam, itt meg a törtrész van használatban, de ez a tükrözés egy-egy értelmű megfeleltetést takar. Mégis van más különbség is. Ugyanis a valós számokat a végtelen törtek reprezentálják, nem pedig a végesek, márpedig a végtelen törtek végtelen nagy helyi-értékeket is tartalmaznak, nem csak végeseket, így azok nem reprezentálhatják a véges természetes számok részhalmazait. A végtelen törtek definíciója egyértelműen határértékképzést ír elő, tehát a részletösszegek végtelen sorozatának határértékét, amelyhez a sorozat tart, de egyik tagja sem egyezik meg vele. Ezen sorozat minden tagjához rendelhető egy egy részhalmaza a természetes számoknak, de a sorozat határértékéhez már nem, mivel mint megmutattam, és sokadszor leírtam, a határértékben végtelen nagy indexek vannak, amelynek számossága kontinuum, így ez esetben szó nincs a természetes számok számosságáról, csupán annyit bizonyítottunk be, hogy kontinuum számosságú halmaz hatványhalmaza is kontinuum számosságú, ami persze megint csak a Cantor tétel cáfolata. A végtelen törtekkel való megfeleltetés kísérlete mindenesetre jól mutatja, hogy a matematikusok eddig sem voltak képesek a határértékképzésen kívül más módon előállítani egy végtelen sorozat minden elemét, csak ennek nyilvánvaló voltára nekem kellett felhívni a figyelmet. Ennek nyilvánvaló következménye az az anomália, hogy aki a racionális számok halmazáról beszél, az valójában akaratlanul is a valós számokra hivatkozik.
Budapest, 2012. július 19. Takács Ferenc bp.
