Matematika

Kedves Szerkesztő Úr!

Sajnos annak nagyobb része, amit a cikkemmel kapcsolatban felhozott, csupán felületes általánosságok hangoztatása, fölösleges ismétlések, és nem cáfolat.

Ami pedig cáfolatnak lenne nevezhető, ott nem veszi figyelemebe azon állításaimat, előfeltételeimet, definícióimat, amit kellene, és amelyekre pontosítás okából korábban rá is kérdezett, helyette azokból az utóbbi száz évben született definíciókból indul ki, amelyek a cikkemben foglalt állítások következményeként amúgy sem vehetők figyelembe, mert hibásak, megalapozatlanok. Ez arra utal, hogy nem tudta megérteni állításaim lényegét, de még csak előfeltevésként sem tudta azokat elfogadni. Ez persze nyilván nem csak az ön hibája, bár nem ártana képessé válnia legalább ideiglenesen, feltételesen felszabadulni az elmúlt száz év hibás berögzéseitől, hanem az én hibám is, hogy nem találtam meg a rést, amely áthatol berögzött előítéleteknek sűrű szövevényén.
Először mégsem a cikkemről írnék, hanem a matematika, és az axiómák szerepéről, mivel az itt található értelmezési problémák, - melyek megítélésében levő különbségeket már érintettünk levelezésünkben, -  alapvetően befolyásolják mind a matematika, mind pedig közvetve az emberi tudás összességének jövőjét. Közben természetesen újra végigmegyek azokon a pontokon, amelyek a cikkemben foglalt felfedezés miatt új megvilágításba kerülnek.

Alapvetően hibás felfogás. A matematika nem csupán a gondolkodás művészete, hanem a helyes gondolkodás művészete. A matematika, illetve a matematikai logika absztrahálja, elkülöníti a gondolkodás bonyolult nagy részben ismeretlen rendszeréből mely gondolatmenetek tekinthetők objektív módon igaznak, és mely gondolatok tekinthetők megalapozatlan hipotéziseknek, megérzéseknek, hitbéli dogmáknak. A matematika nem esetlegesen használható eszköze a világ objektív fizikai megismerésének, hanem a megismerési folyamat megkerülhetetlen, és legalapvetőbb bázisa.

A tudomány csírái már az ó-egyiptomi kultúrákban megtalálhatók, ahol is a papság művelte, akárcsak a ótestamentumi, vagy babilóniai társadalmakban, ahol is a vallás, és a tudomány még nem különült el. A tudomány születése, vagyis elkülönülése a vallástól először az ógörög társadalomban történt meg, ahol is a filozófusokban először merült fel az igény, hogy a gondolkodás objektív elemeit elkülönítsék a szubjektív elemektől, és ezzel együtt világosan lássák, hogy a világból mi tekinthető objektív létezőnek, és mely része marad csupán teória. Éppen ez okból a tudomány születése idején nem különültek el a tudományágak, sőt a ma ismert ágak legtöbbje nem is létezett.  De a filozófia különös érzékenységgel kezelte a gondolkodás logikáját, és az ehhez legközelebb eső számtani, mértani, csillagászati ismereteket, mint az objektivitás legszilárdabb sarokköveit. A matematikai axiómák objektivitásának igénye teljesen természetes volt, és csak az okozott aggodalmat néhány filozófusban, hogy a teljes objektivitást lehetetlen biztosítani, így az axiómákat sem lehetséges bizonyítani.

Ezután a történelem mintegy igazolásként megismételte önmagát, és a vallás különválása a tudománytól a középkori Európában is megtörtént újból.  Az önálló létjogosultságot szerzett tudomány azóta a polgáriasodás egyik erőforrásává válva társadalomformáló tényező lett.

Tehát a matematika valóságosan objektív jellege nem csupán az axiómák megalkotásának egyik nagyon fontos szempontja, hanem egyben a matematika, és vele minden rá épülő tudomány létjogosultságának legfőbb indoka. Semmi szükség nem lenne matematikára, fizikára, kémiára, biológiára, és más reál tudományra, ha a legkisebb kétség férne ezen tudományok objektivitásához. Ugyanis éppen ezen objektivitás okán különböztetjük meg a tudományt az asztrológiától, a számisztikától, és egyéb teológikus elméletektől, vallásoktól. Mert hát nem szabad figyelmen kívül hagyni, hogy az emberek a legkülönbözőbb elméletek kiagyalására voltak képesek, mivel fantáziájuk úgyszólván határtalan. És mielőtt ezen állításomat valaki is valamiféle ateista hittérítés részének minősítené, had emlékeztessek arra, hogy amikor a tudomány különvált a vallástól, még nem léteztek ateista tudósok, a különválás meghatározó alakjai egytől egyig meggyőződéses vallásos emberek voltak, akik emellett képesek voltak megkülönböztetni az objektív állításokat  szubjektív állításoktól. Ezen objektivitásigényből mit se von le az, hogy a matematika a lehető legkisebb mértékben foglalkozik a világ fizikai valóságával, és absztrakcióiban a logika, a gondolkodás objektivitásának csontvázáig le van csupaszítva, és a bizonyosság lehetséges legnagyobb maximumával különíti el a valós igazságokat a feltételezések ingoványától.

Midőn Hilbert meghirdette elveit az axiómákkal szemben felállítandó követelményekről, teljesen figyelmen kívül hagyta az objektivitás, vagyis a valósághoz való lehetséges lehető legnagyobb illeszkedés igényét. Ennek oka nyilván az volt, hogy pillanatnyilag nem ez volt számára a probléma, hanem az új keletű halmazelmélet ellentmondásainak leküzdése. Csakhogy ezzel veszélyes vizekre evezett, mivel így a matematika láthatóan sokak számára hitbéli kérdéssé vált, vagy csak egy egyszerű gondolatjátékká, amelynek sem tétje, sem feladata nincs, így ezen az alapon akár szemétbe is dobható, megszüntethető. Feltételezem, hogy Hilbertnek nem ez volt a célja, de sajnos meghirdetett elveiből ez következik.

Mintegy ismétlésként leírom, hogy a matematika alapszintű oktatása az elmúlt 100 év elhibázott axiomatizálásának fittyet hányva folyik az évszázados hagyományokra épülve, és hallgatólagosan olyan ki nem mondott, le nem írt (rejtőzködő) axiómák szerint épül fel, mint előtte. Ezeken az alapokon felnőve azután a matematika szakos hallgatók képesek az újabb, olyan bonyolult axiómákat értelmezni, amelyek oktatása alacsonyabb szinten elképzelhetetlen lenne éppen ezen axiómák bonyolultsága miatt. Így találkozik a matematikusokban az objektivitás az elvontsággal, és ez a magas szinten értelmezett, de ki nem mondott, és be nem bizonyított konzisztencia biztosítja továbbra is a matematika tudományának objektivitását. Tehát mire a hallgatók eljutnak az axiómák elismeréséig, valójában nem is érdemes megismerniük azokat, mivel addigra teljesen kialakult bennük minden matematikai alapfogalom az általános, és középiskolai tanulmányaik során. És ahogy megismerkednek ezen új keletű, és bonyolult axiómákkal, korábban szilárdan megalapozott ismereteikre támaszkodva ellenőrzik az új axiómák helyességét, vajon azok valóban beilleszthetők-e a korábbi szemléletükbe a korábban megalapozott logikájuk alapján. Így ezen a szinten valóban csak egyszerű gondolati játszadozás folyik az axiómákkal, csakhogy ezen axiómáknak semmi köze nincs a matematika logikai, ismeretelméleti megalapozásához, csupán laboratóriumi kísérletek. Nem csoda, ha ezek után lépte-nyomon belebotlik az ember azon vélekedésbe, hogy a matematikának semmi köze a valósághoz, azt akár valami speciális vallásnak is lehetne venni. Nem csoda ha ezek után azt hallom, hogy ugyan miért kellene a matematikát axiómák alapján tanítani. Hilbert szeretett játszani a gondolatokkal, és ebben tényleg nagy játékos volt, de közben nem vette észre, hogy más is van az ő játékán kívül, ami nem játék, hanem maga a valóság. És persze sok matematikusnak is valóban lételeme a játék a gondolatokkal, a különféle feltételezésekből következő gondolatvirágok szépségének felfedezése, de eközben sem szabad elfelejteni, hogy még a legelvontabb matematikai feltételezések mögött is ott vannak a matematikai logika kőbe vésett szabályai, amelyek ráadásul minden beszélt nyelvnek is az elemei, és amelyek nélkül nincs értelme gondolatjátékról sem beszélni. És ott van a számtani alapvetés, amelyet éveken keresztül vernek a fejébe minden kisgyereknek. És természetesen a matematikában továbbra is központi helyet foglal el a "tegyük fel, hogy ..." gondolat, amely nyilvánvalóan értelmetlen lenne, ha ez minden állításra igaz lenne. Tehát csak azért "feltételezhetjük" valami igazságát, mert vannak olyan dolgok, amiket valóban, minden kétséget kizáróan igaznak veszünk, és persze vannak olyanok is, amelyeket minden kétségen kizáróan hamisnak.

Igazán elgondolkodtató, hogy lehetséges az, hogy a matematikusok a matematika alapoktatásának, a matematika ismeretelméleti magalapozásának kérdéseit képesek semmibe venni, nem létezőnek feltételezni. Hogyan lehetséges az, hogy miközben a matematikusok is szívesen ismételgetik azt, hogy a matematika a tudományok királynője, egyidejűleg leminősítik a matematikát a teológia szubjektivitására. Ez egy betegség, olyasmi, mint a skizofrénia kollektív változata, másként nem állhatott volna elő ez a helyzet. Helyenként ugyan találni utalásokat az elemi matematikai ismeretekre, emellett számos analízis könyv saját maga definiálja a számfogalmának kiterjesztéseit, persze igen rövidre fogva, leegyszerűsítve, és nem kitérve arra, miféle elemi matematikai ismeretekről is van szó, de ez nyilvánvalóan azon ismeretekre utal, amelyeket az általános, és középiskolákban megtanultunk, de amelyekre egyetlen matematikus sem pazarolt axiómát, jóllehet ezen ismeretekre épül végső soron minden tudomány.

Reménykedem, hogy ennyi bevezetés után elfogadja, hogy a matematika emberi értelemmel való felfoghatósága, és megtanulhatósága, valamint a matematika elméleti megalapozása között kell hogy legyen egy szigorú korrelációnak, vagy ha ez a párhuzamosság valami módon megkerülhető, és érdemes is lenne valami okból megkerülni, akkor ennek az oknak kézenfekvőnek, és nyilvánosan megismerhetőnek kell lennie, ami azonban mindeddig titokban maradt. Ha az axiómák olyan bonyolultak, hogy azt már csak az egyetemisták képesek felfogni, akkor ezek nem megfelelő axiómák, hiszen azok igazságtartalma értéktelen, és legfeljebb ismeretelméletileg alkalmatlan teológiát definiálnak, amelynek semmi keresnivalója a tudományok között. Egyetlen kiút tehát, hogy az úgynevezett elemi matematikai ismereteket is axiomatizáljuk, de olyan szinten, és olyan logikai felépítéssel, hogy az bármely gondolkodó ember, és embergyerek számára követhető,és érthető legyen, hiszen éppen ez bizonyítja a magától értető egyszerűséget. Ez adhat egyedül egy olyan szilárd, és objektív tudásalapot, amelyre a tudományokat, és a matematika további részét építeni lehet. Ehhez vázoltam fel korábban a követendő axiomatikus, definíciós sorrendet, amely a matematika megismerésének logikailag, és gyakorlatilag helyes sorrendje akarna lenni. Talán még nem tökéletes jelenlegi formájában, de hogy ez az út járható, az nem kétséges, hiszen a matematika egy létező, megtanulható tudomány. Nem is lehet persze így tökéletes, hiszen ez még csak egy hevenyészett összefoglaló, ami csak bizonyos szempontokat, állomásokat hangsúlyoz ki, és számos részletkérdés felett elsiklik.

1. Ezért szükséges először a véges halmazokról, a véges természetes számokról, és ezek logikai összefüggéseiről tanulni. E közben kell megértetni a következtetések logikáját, a matematikai gondolkodásmód alapjait. Ezen körben kell megalapozni a véges számok matematikáját, amely nem tartalmazza a végtelen fogalmát sem, de tartalmaz halmazműveleteket, hatványhalmazokat, a véges halmazok számosságát, stb. És amikor eközben a halmazt mint tetszőleges megkülönböztethető objektumok elkülöníthető csoportjaiként definiálom, amelynek elemei ezek az objektumok, természetesen a véges esetek definiálására korlátozódom. És éppen ezen alapdefinícióknál kell az objektív megvizsgálhatóság feltételeit is rögzíteni, és megkülönböztetni a vizsgálható, és vizsgálhatatlan dolgokat. A matematikai gondolkodásmód, és a matematikai feladatmegoldások fontos része az állítások igaz, vagy hamis voltának megállapítása, amiben azt használjuk fel, hogy a hamis állítások ellentmondásokra vezetnek.

• Például ha egy sokat idézett (A) állítás szerint a krétai Epimenidész azt állította, hogy minden krétai hazudik, akkor könnyen kikövetkeztethetjük, hogy ez az (A) állítás hamis, vagyis Epimenidész nem állíthatott ilyet krétai létére, hiszen akkor vagy maga is hazug lévén nem mondhatott igazat, illetve ha igazat mondott volna, akkor önmaga lett volna állítására cáfolat. (Legalábbis a gondolatkísérlet szintjén. Az más kérdés, hogy valójában ez csak egy mintapélda, és Epimenidész valójában azt állította, hogy azon krétaiak hazugak egytől egyig, akik szerint Zeusz főisten halandó.) Tehát minden paradoxon mögött rejtőzködik egy hamis állítás, vagy hamis feltételezés, ami azután ellentmondásra vezet. Nem kell ezért az ellentmondásért matematikai logikai szabályokat felelőssé tenni. Igenis megvan a szabadsága bármely gondolkodónak, hogy hamis állításokat tegyen, és éppen a logika teszi lehetővé, hogy ellentmondások felmutatásával az állítás hamis voltát igazolni lehessen.
• Egy másik mintapéldában a laktanya szolgálati szabályzata szerint a laktanya borbélyának kell mindenkit megborotválnia, akik nem maguk borotválkoznak. Ekkor szegény borbély mindenképp megsérti a szabályzatot, akár ha önmagát borotválja, akár ha nem borotválkozik. Persze egy hibás feltételezés is része ennek a paradoxonnak is, hiszen a borbély esetére egy kalap alá veszi a mások számára végzett borotválást az önborotválással, ami persze nem ugyanaz. Tehát ha például ezen definíció alapján az önmagukat borotválók számát hozzáadjuk a borbély által borotváltakéhoz, akkor eggyel nagyobb számot kapunk, mint a borotválandók száma, hiszen a borotválkozó borbélyt két esetben is számításba vettük, pedig az csak egyszer borotválkozott.  Nyilván ez esetben a laktanya szabályzata a hibás, mert nem választja szét pontosan a lehetséges eseteket, és nem a halmazelmélet, vagy a matematikai logika.
• Ennek sokkal általánosabb formája a Russell-paradoxon, amelyben eldönthetetlen, hogy az önmagukat nem tartalmazó halmazok gyűjtőhalmaza tartalmazza-e önmagát. Ugyanis ha nem tartalmazza, akkor emiatt mégis tartalmaznia kéne, de ha tartalmazza, akkor viszont nem szabadna tartalmaznia. Az ellentmondás ott feszül már a példa megfogalmazásában is, mivel látni valóan a tartalmazás feltételét éppen a nemtartalmazás jelenti. Amolyan 22-es csapdája. De ezen példa ellentmondásával együtt olyan hatalmas szörnnyé lett, hogy letaglózta a korabeli halmazelméletet, és gúzsba kötötte a matematikusok gondolkodását, és már száz éve úgy is tartja. Ugyanis nem azt látták a példában, hogy a példa logikailag hibás, hanem úgy gondolták, az emberi elme hibbant meg, sőt eleve hibbant volt, és képtelen logikusan gondolkodni. Néhányan úgy gondolták, semmit sem ér az olyan logika, amelyben ellenmondásra lehet jutni, és ezt már az axiómák szintjén meg kell akadályozni. Azt állítják, ha egy ellenmondást is ki lehet mutatni, akkor bármit be lehet bizonyítani, és annak ellenkezőjét is. Igaz ilyen példákkal nem álltak elő, mert hát azért valjuk be, igencsak furcsán nézne bárki arra az emberre, aki a 2*2 értékét az önmagukat nem tartalmazó halmazok gyűjtőhalmaza segítségével próbálná meghatározni, de a félelem mégis akkora volt, hogy azóta csak olyan matematikai axiómák léteznek, amiket legfeljebb egyetemen lehetséges tanítani.
• De nézzünk még egy analógiát. A Cantor tétel bizonyításában szerepel egy X gyűjtőhalmaz, amely azon halmazokból áll, amelyek nem tartalmaznak hivatkozást önmagukra. Ekkor eldönthetetlen, hogy X hivatkozik-e önmagára, hiszen a tartalmazás feltételét a nemtartalmazás jelenti. Az analógia annyiban áttételesebb, hogy minden halmazhoz tartozik egy sorszám, például X sorszáma x, továbbá a halmazok is sorszámokat tartalmaznak, és a halmazokban való n hivatkozás megfelel annak, hogy a halmaz tartalmazza n sorszámot. A sorszám hozzárendelés léte, vagy nem léte a kérdés Cantor számára, de nem ez most a lényeg. Ettől eltekintve tökéletes az analógia a Russell-paradoxonnal. És amíg a matematikusok a paradoxont oly mértékben elutasították, hogy vele a matematika megalapozását is kivéreztették, és kibelezték, addig a vele analóg bizonyítást használó hamis Cantor tétel az új matematika egyik pillérévé vált.

2. Csak amikor már képesek vagyunk a minket körbevevő véges, vagy csak végesen hozzáférhető környezetünk matematikai szempontokból való értelmezésére, akkor lehetséges foglalkozni azzal, hogy a véges megközelítés nem elégséges, és a véges természetes számok mindegyikénél van nagyobb természetes szám. Ehhez pedig definiálni kell a természetes számok végtelen sorozatát, amelyben a természetes számok úgy követik egymást, akár csak véges esetekben, de a végtelen sorozatnak nincs vége. Ez a sorozat fogalmának a szokásostól eltérő definíciója, ami nem más , mint az identitás függvény sorozatának definíciója Peano axiómái mintáján, amelyet persze egyből ki lehet bővíteni a sorozat szokásos definíciójával az identitássorozathoz való egy-egy értelmű megfeleltetés révén, hiszen ezzel egyben a teljes indukció elvét is definiáljuk, és a megszámlálhatóság fogalmát is. Minden végtelen sorozatot megszámlálhatóan végtelennek nevezünk. Amit a véges halmazok esetében számosságnak, vagy elemek számának neveztünk, ahelyett itt csak ezt a megnevezést használjuk, megszámlálhatóan végtelen. Nagyon fontos észrevenni, hogy sem a természetes számok végtelen sorozatának definiálásához, sem a teljes indukció elvének alkalmazásához nincs szükség a halmazok fogalmát használni, és mint azt a Cantor tétel példája mutatja, súlyos hiba forrása lehet, ha ezt még is megtesszük. A természetes számok sorozatának definiálásával lehetővé válik bármely alapszintű számelméleti probléma tárgyalása. A páros természetes számok fogalma szintén egy sorozatot takar, az s(n)=2*n sorozatot. A természetes számok sorozatához természetesen csak olyan hatványhalmazt rendelhetünk, amely maga is sorozat. (tétel) Sorozathoz ugyanis csak sorozat (ami lehet halmazok sorozata is) rendelhető egy-egy értelműen, vagyis halmaz nem rendelhető sorozathoz egy-egy értelműen (bizonyítás lentebb).  A természetes számok bármely kezdőszelet halmazához tartozik hatványhalmaz, amely a következő természetes szám hozzá vételével kétszer annyi részhalmazt fog tartalmazni. És semmi akadálya, hogy a természetes számok tetszőleges részhalmazához egy-egy értelmű sorszámot rendeljünk, ami alapján a hatványhalmaz sorozat éppen úgy megszámlálható, mint a természetes számok sorozata.

3. A geometria oktatása az Euklidesz nyomdokain folyhat, amíg itt is el nem érkezünk a folytonosság  kérdéseihez. Természetesen az évezredek óta művelt geometria sem sajátítható el a párhuzamosság axiómája nélkül, még ha utóbb kiderült, hogy anélkül is tárgyalható, persze nem középiskolás szinten. Ez a tény egyben azt is mutatja, hogy a magasabb szintű matematika bevezetése nem ellentétes azzal, hogy egyszerűbb matematikai modellre építkezünk, majd abból további absztrakciókkal jussunk más, bonyolultabb matematikai modellekhez, sőt az is nyilvánvaló, hogy a párhuzamossági axióma (és így az euklideszi terek) nélkül nem is létezne a geometria, mivel a nemeuklideszi terek alkalmatlanok az elemi geometria bemutatására, tanítására. (Mint az anekdota mondja, az általános relativitáshoz csak néhány tucat ember ért a világon.)

4. A sorozatok konvergenciája, de a geometriában a folytonosság elemzése is elvezetett a határérték fogalmához, és a határértékképzés műveletének kérdéseihez, és vele a kontinuum számossághoz. Ennek során a cikkemben említett végtelen létra vetületének példáján könnyen be lehet látni, hogy vannak végtelen számosságú halmazok, amelyek kontinuum számosságúak, és nem megszámlálhatók, mint a sorozatok. És van a megszámlálhatatlan végtelen nagy pozitív egész számoknak is halmaza, amely kezdő torlódási pontjaként tartalmazza a természetes számok sorozatát is. Bár már Peano bemutatta a peano-görbén, hogy nullmértékű elemek (terület nélküli vonalak) végtelen sorozata (amelynek tetszőlegesen nagy véges halmaza is nullmértékű) határértékben folytonos nem null mértékűvé (területté) válhat, de csak a végtelen létrás mintapélda mutatja meg, hogy közben az értelmezési tartomány sorozatának véges indexei nullmértékű értékkészletre hivatkoznak, és az értékkészlet fennmaradó folytonos tartományára kizárólag a sorozat végtelen nagy indexei képezhetnek. Megjegyzendő, hogy konvergens sorozatok határértékei megszámlálhatóan végtelen számosságú halmazokat eredményez, mivel a határérték egyetlen szám.

(a fenti tétel bizonyítása) Amikor egy  S sorozathoz egy H halmaz elemeit akarnánk rendelni, akkor vagy azt kell belátni, hogy H valójában csak egy sorozat, mivel  csupán az (f:S<->H) hozzárendelő leképezés létezését bizonyítjuk, ami a sorozat definíciója, vagy a megszámlálás határértékét kell tekintenünk (limes S = H), és ezzel máris a végtelen nagy számok megszámlálhatatlan sokaságához jutottunk. A 2. szinten megfogalmazott tétel bizonyítását csak a 4. szinten lehet teljessé tenni, mivel a bizonyításban a határértékképzést is felhasználjuk. És természetesen a természetes számok azért sem tekinthetők halmaznak,  mivel a véges természetes számok nem különíthetők el halmazművelettel a végtelen nagy pozitív egész számok halmazától, pedig a halmazokat egymásmástól megkülönböztethető, elkülöníthető objektumok csoportjaiként definiáltuk,

5.. Ezen a szinten már tetszőleges számok használhatók, lehet deriválni, integrálni.

6. És nincs akadálya annak sem, hogy az eddig felépített matematikai alapokról elindulva különféle alternatívákban is gondolkozzunk a matematika elméleti megalapozása kérdésében, és továbbfejlesszük a matematika tudományát. De ezek az alternatívák nem helyettesítik a korábban felsoroltakat, csupán ráépülnek ezekre az alapokra.

Ez lenne tehát az "elemi" matematika elméleti megalapozásának négy egymásra épülő hierarchikus lépcsője, amelyeket tehát nem csak az oktatásban kell követni. Persze ebből nagyon sok lépcsőt kihagytam, amire jelen felsorolásban nem volt érdemes kitérni. Amire kitértem, tehát éppen azok a részletek, amik megalapozzák a természetes számok sorozatának megismerését, és próbálják megértetni, hogy a természetes számok sorozatának összessége már az elemi matematika szintjén sem kezelhető halmazként, ami nyilván kissé meghökkentő állítás, ha arra gondolunk, hogy egyébként a természetes számok tetszőleges részhalmazairól beszélhetünk. A sorozat és a végtelen halmaz fogalma össze van mosva jelenleg a  matematika bármely ágában, alapszinten éppen úgy, mint magas szinten. Amíg valaki képtelen felfogni a kettő közötti különbséget, addig esélye sincs arra, hogy megértsen engem. Egy sorozathoz probléma mentesen hozzárendelhető egy-egy értelműen egy másik sorozat, akár olyan is, ami a sorozat hatványhalmazainak sorozata, de nem rendelhető hozzá egy-egy értelműen egy halmaz, függetlenül attól hogy az milyen halmaz.

A Cantor tétel bizonyítása halmazokra vonatkozik, de emiatt nem használható a természetes számok sorozata esetére. A kontinuum számosságú végtelen halmaz esetében Cantor bizonyításában egy olyan leképezés létét feltételezi, amely nem csak azért nem létezhet, mert a hatványhalmaz eltérő számosságú, hanem talán inkább azért, mert a végtelen halmaz nem megszámlálható. Ennek hiányában a hatványhalmaz megkonstruálása is problémás, és nem csoda, ha így senki sem tudott bemutatni akár csak egy ici-pici folytonos intervallumhoz tartozó hatványhalmazt a matematika történetében. Ennek ellenére ez konstrukciós nehézség nem akadályoz senkit abban, hogy a hatványhalmaz fogalmával dobálódzanak lépte-nyomon végtelen halmazok esetében, sőt még arra is képesek voltak, hogy úgymond axiómával rögzítsék azt, hogy hatványhalmaz, igenis létezik (ZFC hatványhalmaz axióma). Ezt a fajta logikai eljárást a vallás esetében dogmának hívják. A matematikában persze semmi helye az ilyen dogmáknak.

Az is látható, hogy amit a matematikusok java része, és ön is az axiómák, és a matematika szerepéről  gondolnak, az csupán a 6. pontba foglalt matematika továbbfejlesztését fedi le, de igencsak eltávolodott a matematika megalapozásától. Mint már az 1. pontnál említettem, az ellentmondások a matematika fontos részét képezik, így teljes képtelenségnek tűnik számomra az a törekvés, hogy azoktól meg kell szabadulni, és lehetőleg már az axiómák szintjén lehetetlenné kell tenni az ellentmondó állítás leírhatóságát. Bárki megfogalmazhat olyan állítást, feltevést, amelyről kideríthető, hogy hamis, mivel ellentmondásra vezet. Ez a bizonyítási eljárások egyik igen elterjedt formája. Teljesen elhibázottnak találom azt a próbálkozást, ami ezt ki akarja küszöbölni, lehetetlenné akarja tenni, mivel nem is tudom, mi a célja ennek. Az ismert ellenmondások nem az axióma rendszerek hibái, hanem az mintapéldák definícióiban rejtőzködő hibák. Ezzel szemben amit én felfedeztem, (vagyis a természetes számok sorozatának halmaznak minősítése,) az ténylegesen az axiómarendszerek hibája. És miközben a matematikusok az ellenmondásokra hivatkozva illúziókat kergetve rejtjelezték a matematikai axiómákat, az axiómarendszerek tényleges hibáit észre sem vették. Így nem csak az a probléma, hogy rejtjelezték az axiómákat, és így elszakadtak annak tényleges ismeretelméleti alapjától, hanem az, hogy mindeközben logikailag hibás feltételezésekben tévelyegtek.

Amit én megkövetelek az axiómáktól:

A1. Az axiómák legyenek olyan egyszerűek, magától értetődőek, hogy ne kelljen azon töprengeni, vajon igazak-e.
A2. Az axiómák legyenek logikailag függetlenek, tehát ne következzen egyik sem a másikból, és így ebből következőleg az axiómák száma minimális legyen.
A3. Az axiómák ne legyenek ellentmondóak egymásnak.
A4. Az axiómák teljességének igénye helyett az elmélet felépülésében a logikai fokozatosság igényét kell szem előtt tartani. Ugyanis az axiómák nem határozzák meg a reájuk épülő elméletet, csupán annak legalsó építőköveit határozzák meg. Minden olyan új kő, amely építi az elméletet, egyrészt támaszkodhat az axiómákra, és az elmélet már felépült részére, tehát hivatkozik rájuk, másrészt nem ellentétes velük, harmadrészt új állításokat, új definíciókat jelentenek, amelyek nem a már az alsóbb szinten felépült elméletből következnek. Amennyiben az új állítások csak annyiban függnek össze a már bizonyos szintig felépült elmélettel, hogy nem ellentétesek velük, úgy magasabb szinten beépülő új axiómákról beszélhetünk. Ugyanis semmi értelme egy épület alapjainál meghatározni az erkélyek, és épület összefonódások axiómáit, vagyis olyan összefüggéseket, amelyek alapszinten nem is értelmezhetők. Így tehát az elmélet minden építőköve egy kicsi hozzájárulás ahhoz, hogy az elmélet minél teljesebb legyen. Mivel az új építőkövek nem lehetnek ellentmondóak az alsóbb szintekkel, az elmélet ellentmondásmentes. Az elméletben lehetségesek szétválások, tehát egy adott szintig egységes elmélet több elmélet közös elméleti alapja lehet, amely elméletek azonban egymástól eltérően fejlődnek. Az elméletben lehetnek összefonódások, amikor is két egymással nem ellentmondó elmélet közös elméletté forrhat össze. Természetesen a magasabb szinten összefonódó elméletek ellentmondásmentességének ellenőrzése igen nagy körültekintést követel, de például ezzel találkozunk akkor is, amikor a térbeli intuícióra alapozott euklideszi geometriát egyesítjük a valós számok elméleteivel.

Egy szimbólum, amit úgy használunk, mintha I halmaz lenne, de mégsem az, hanem a természetes számok sorozatát jelöli. Nem végezhetünk vele egyetlen olyan halmazműveletet sem, amely művelet egy sorozaton nem végezhető el, de használhatjuk a sorozat tagjaira így például az "eleme" szimbólumot, és a formalizmus többi szokásos jelölését a matematikai kifejezésekben. Így a már meglevő matematikai irodalom jelentős része minimális változtatással (N és I cseréjével) megőrizné értelmét. Példának akár a Peano axiómákat is említhetem, amelyet legtöbbször úgy kezdenek, hogy "0 eleme N", de úgy kell érteni, hogy a nulla természetes szám.

Remélem, nem okoz túl nehéz feladatot megérteni engem. A sorozat, és a halmaz fogalmi, és tartalmi eltéréseit kell alaposan elemezni, és megérteni, hogy miért nem lehet a sorozat halmaz. Továbbá végig gondolni, hogy ha a Russell-paradoxon emészthetetlen, akkor a vele analóg Cantor tétel miért emészthető.

Üdvözlettel:
Budapest, 2012. június 29. Takács Ferenc bp.