Itt most nem azt olvashatod, amit vártál. Csupán az értetlenségem kifejezése, és a cáfolatom a heurisztikus divergens összegzések használatával kapcsolatban.
Amint azt Euler levezette az alternáló előjelű egész számok S sorának összege 1/4:
Ezzel szemben a hasonló manipulációkkal sokféle módon kiszámítható a sor összege, és az egymástól különböző eredményeket fog adni. A teljesség igénye nélkül:
2 * S =
= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 +... +
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +...=
= 1 - 2 +(3 - 3)+(3 - 3)+ 3 - 3 + 3 -3 + ... = -1, ebből S = -1/2
másképpen
2 * S =
= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 +... +
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 -... =
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S1, vagyis S = S1/2
Ez egy másik gyakran emlegetett alternáló divergens sor, aminek összege például?
S1 = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...= 0+0+0+... = 0
vagy
S1 = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+0+... = 1
vagy
2 * S1 =
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... +
1 - 1+ 1 - 1 + 1 - ... =
1+ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 1
ebből S1 = 1/2
Így S értékére már négy lehetőség is adódott (-1/2, 0, 1/4, 1/2). Bizonyára a végtelenségig lehetne folytatni.
Látható, hogy végtelen számú operandussal nagyon egyszerű manipulálni, hiszen a folyamat vége definiálatlan, és így nem terhel minket felelősség az ott történő dolgokkal kapcsolatban. Igaz a következményeivel sem vagyunk tisztában.
