Már egész kis iskolás korunkban el kezdjük tanulni a számolást, és a különféle műveletek elvégzését a számokkal. De a különféle számrendszerek axiomatikus ismertetése legfeljebb már csak a szakirányú egyetemek tananyaga. Tehát olyasmit tanulunk egészen alapfokon, amelynek talán egész életünkben nincs köze az alaposan átlátott, és megértett logikai levezetésekhez. Az csak puszta gyakorlat, amely mögött nem látjuk a mélyebb értelmet. Ugyanis éppen az axiomatikus levezetés, és az ezekből következtetett definíciók, tételek tárják fel a matematika belső értelmét. A geometria bevezetését alapvetően már az ókortól Euklidész axiómáinak megfelelően oktatják, de a számokkal nem ez történik. Ennek oka pedig az, hogy a matematikusok ezeket az axiómákat túl elvontaknak tartják ahhoz, hogy egy kisgyerek megértse. Ez persze ellent mond az axiómáktól elvárt azon követelménynek, hogy egy axióma legyen olyan egyszerű, szinte magától értetődő, hogy annak igazságát ne is próbáljuk kétségbe vonni. Hiszen minden állítás, tétel bizonyítását egyszerűbb, már bizonyított állításokra vezetünk vissza, majd végső soron a matematika minden állításának igazsága az axiómák igazságán múlik. Azok bizonyításával senki sem foglalkozik, nincs is rá matematikai módszer. Így az axiómák igazsága központi fontosságú.
A kérdés persze nem könnyű. A számokkal mindenkor voltak problémák. Rengeteg fejlődésen mentek keresztül, míg a matematikában ma használatos axiómák megszülettek. De mint írtam, ezen az axiómák megértéséhez felsőfokú matematikai képzettségre van szükség, így az egyszerűség, és magától érthetőség szóba nem kerül, pláne az, hogy ezen kezdjék a számok tanítását az alsóbb iskolában. Jó okkal nem tanítják tehát itt.
De ez így nem igazi arca a matematikának, és a természetes számok halmaza nem olyan, mint azt korábban elképzelték, és ahogyan azt axiómákba foglalták.
Azonos két halmaz számossága, ha létezik a két halmaz elemei között egy-egy értelmű megfeleltetés, vagyis elemeik párokba állíthatók. Ez megszámlálható halmazok esetében azzal ekvivalens, hogy a halmaz végtelen számosságú, és elemei indexelhetők a természetes számokkal, vagyis ez egy végtelen sorozat. Már Galilei megmutatta, hogy a természetes számok, és a négyzetszámok azonos számban vannak.
Első lépésként tekintsük meg a természetes számok hatványhalmazainak sorozatát. A természetes számok hatványhalmazainak sorozatát definiáljuk a következő képen.
Legyen a 0 hatványhalmaza H(0) = {{}}.
Legyen n hatványhalmaza H(n), és ebből képezzük H(n+1) hatványhalmazát úgy, hogy H(n) hatványhalmazához hozzávesszük H(n) hatványhalmazának n számmal való kibővítettjeit, vagyis H(n) minden elemhalmazához hozzávesszük az n számot is, tehát minden újabb számnál megkétszereződik a hatványhalmaz számossága. Így a következő négy tag:
H(1) = {{},{0}}
H(2) = {{},{0},{1},{0,1}}
H(3) = {{},{0},{1},{0,1},{2},{0,2},{1,2},{0,1,2}}
H(4) = {{},{0},{1},{0,1},{2},{0,2},{1,2},{0,1,2},{3},{0,4},{1,3},{0,1,3},{2,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1,2,3}}
És ez az eljárás vég nélkül folytatható, tehát ez egy teljesen szokványos végtelen sorozat, így semmi okunk kételkedni abban, hogy ennek a sorozatnak a számossága különbözzön a természetes számokétól. Ezzel szemben viszont Georg Cantor tétele azt állítja, hogy egy adott halmaz számosságánál a hatványhalmaza számossága mindig nagyobb.
Miből adódik tehát az eltérés, ami miatt Cantor más következtetésre jutott? Cantor a saját bizonyításában nem azt az utat követte, amit én itt bemutattam, hanem trükkös halmazműveletekkel logikai ellentmondást mutatott ki a halmaz, és hatványhalmaza között. És a már eddig leírtakból is látható az eltérés forrása, ami nem más, mint hogy Cantor halmaznak értelmezte a természetes számokat, míg én annak csak sorozat mivoltára hivatkoztam. Amíg én, mint láttuk a természetes számok hatványhalmazainak sorozatáról beszéltem, addig Cantor a természetes számok halmazának hatványhalmazáról beszélt. Ugyanis a sorozat, és a halmaz fogalma különbözik, és nem egyértelmű, hogy a természetes számokat miként kezeljük. Halmazként, vagy sorozatként. Amint láttuk az azonos számosság definíciójában a végtelen diszkrét sorozatok esetében a természetes számokkal való indexelhetőség teljes mértékben biztosítja a természetes számokkal való azonos számosságot, addig más halmazok esetében más fajta függvényeket, eljárásokat kell használnunk, mivel azok ilyen módon nem indexelhetők.
Hogy lehet ezt a problémát kezelni? Ehhez vissza kell nyúlni a természetes számok axiómáihoz. Elégséges az egyszerűbb, már 130 éves Peano-féle axiómákat megvizsgálnunk, de itt kissé módosított formában tálalva.
AX1. A 0 természetes szám, a természetes számok sorozatának kezdő, és legkisebb tagja.
AX2. Az 1 természetes szám, a természetes számok sorozatának 0-ra következő tagja, a természetes számok egysége.
AX3. Minden természetes számhoz létezik egy, és csak egy reá következő természetes szám, amely nem azonos semelyik másik természetes számmal, és eggyel (1) nagyobb, mint amelyikre következik.
AX4E. Létezik a természetes számok sorozatának halmaza, amely csak természetes számokat tartalmaz.
Az első három axióma definiálja a természetes számok végtelen sorozatát, és teljes mértékben elegendő, hogy a számelméleti tételek visszavezethetőek legyenek a teljes indukciós bizonyításokkal. A második axióma definiálja az egységet, amely az aritmetikai műveletek definícióit teszi lehetővé.
A negyedik axióma zavaros, ellentmond a többi axiómával. Ez azért nem okozott eddig senkinek sem gondot, mivel az axiómákat szükségtelen bizonyítani, azokat dogmaként el kell fogadni, tudomásul kell venni őket. De nyilvánvalóan hibák forrása, ha az axiómák önellentmondóak, ráadásul kideríthetetlen hibák forrása, mivel a bizonyítási eljárás nem terjed ki az axiómák vizsgálatára. Nézzük először az önellentmondás bizonyítását az utolsó axiómát nem felhasználva!
1. Minden természetes számhoz létezik olyan részhalmaz, amely tartalmazza azt, mint legnagyobb elem.
2. Minden természetes számokból álló részhalmaznak van legnagyobb eleme, amelyre következő természetes szám nem eleme a részhalmaznak.
3. Nem lehetséges kiválasztani olyan részhalmazt, amely minden természetes számot tartalmazna.
4. Ha létezne minden természetes számot tartalmazó halmaz, amely csak véges természetes számot tartalmaz, akkor annak kiválasztható részhalmaznak kell lennie.
Tehát a negyedik axiómával ellentétes állításra jutottunk az első három axiómából.∎
Az utolsó AX4E axióma elfogadása tehát soha nem magától értetődő, ehhez szükséges a felsőfokú szakirányú képzésre kialakult magas szintű absztrakciós képesség. Most viszont elvetjük ezt az axiómát, és valami más úton módon próbálunk az eddig definiált természetes számok sorozatából halmazt építeni.
Létezik-e tehát olyan halmaz, amely minden természetes számot tartalmaz? Igen. Ezt a halmazt a természetes számokból képzett halmazok sorozatának uniójával kaphatjuk meg.
Egy végtelen divergens sorozat uniója két lehetséges eredményt ad. Vagy értelmetlen a műveletként kezeljük, vagy a halmaz tartalmazza a divergens sorozatunk határát, a végtelen nagy természetes számokat megszámlálhatatlanul végtelen számosságban.
Itt átugrottunk két lépést is, amit korábban nem definiáltunk. Az egyik a végtelen sorozatokkal végzett határértékképzés, a másik egy divergens sorozat határértékére vonatkozik. Az előbbivel most nem foglalkozunk, csak annyit jegyzünk meg, hogy a sorozatokra számos műveletet úgy értelmezünk (sokszor külön jelölés nélkül, Π, Σ, ∪, ∩, végtelen tizedes törtek), hogy az a sorozat, vagy a vele végzett művelet határértékét jelenti. Ez utóbbira egy újabb axiómát kell definiálnunk, amely valójában nem ismeretlen a matematikában, csak nem axiómaként ismert, hanem mint egy divergens sorozat határértékeként. Egyben elvetjük a korábban leírt AX4E axiómát.
AX4. Végtelenszer összegezve az egyet, az végtelent ad eredményül. , vagy rövidebben ∑1 = ∞
Így a természetes számokból képzett halmazok uniója
Az utolsó elemként feltüntetett ∞ (végtelen) azonban annak ellenére része a végtelen láncnak, hogy rajta nem értelmezhető a kisebb, nagyobb reláció, nem működnek az aritmetikai műveletek, és ez a ∞ szimbólummal jelölt lánc megszámlálhatatlanul végtelen számosságú tagot jelöl, így az egész 𝕀 halmaz is megszámlálhatatlanul végtelen számosságú. Ugyanis az AX4 axióma akkor is változatlan jelentéstartalommal bír, ha az összegzést tetszőleges véges természetes számmal kezdjük. Tehát igaz, hogy n+∞=∞, tetszőleges véges n természetes számra.Az AX4 axiómaként ismertetett sorozat határértékekhez hasonló több nevezetes sorozat is ismeretes, például:
∑n = ∞
Az alapgondolat, amiért szükséges volt axiómaként definiálni a végtelen összeget az, hogy világosan megértsük a lényegbe vágó különbséget a tetszőlegesen véges sokszor elvégzett művelet, és a végtelenszer elvégzett művelet között. Az előbbi esetben érvényesek a véges számokra definiált aritmetikai műveletek szabályai, az utóbbi esetben nem. Így a minden természetes számra igaz állítást minden esetben a véges természetes számokra értjük, és nem értelmezzük a végtelen nagy természetes számokra, amelyek új, eddig kevéssé tárgyalt objektumok a matematikában. Mindemellett a végtelenszer elvégzendő műveleteket a matematika a sorozatok határértékeként tárgyalja. Vagyis a minden kvantor nem jelent mindent minden esetben. Mivel az axiómákat nem bizonyítjuk, azoknak a lehető legegyszerűbb állításokat szabad csak tartalmazniuk, olyanokat, amelynek belátása magától értetődő. Egy bonyolult tudományt, mint a matematika nem lehet úgy megalapozni, hogy az alapok is bizonytalanok, az axiómák értelme zavaros.
Mivel az új AX4 axióma sem definiálja axiomatikusan a természetes számok halmazának létezését, viszont a fent említett végtelen unió képzéssel ez az 𝕀 halmaz létrehozható, vagyis létezik, így szükségtelen axiomatikusan rögzíteni e halmaz létezését, viszont tudomásul kell venni, hogy megszámlálhatatlanul végtelen számosságú, szemben a természetes számok sorozatával. Ugyanakkor azt is látnunk kell, hogy az így létrehozott halmaz nem azonos a természetes számok halmazával, nem olyan, amit minden matematikus látni akar, sőt ezzel a halmazzal nem is lehet számításokat végezni, hiszen a benne levő végtelen nagy számok ezt nem teszik lehetővé. Tehát tovább kell próbálkoznunk.
Definíció. Jelentsen a ≺∞ szimbólum egy olyan véges számot, amely nagyobb minden véges számnál, de kisebb minden végtelen nagy számnál. Ez a szám közelebbről nem meghatározható, de így is nagy jelentősége van. Nevezhetjük a véges számok horizontjának. Az új axióma:
AX5. ≺∞ alkalommal összegezve az egyet, az ≺∞ értéket ad eredményül. .
Ezzel a határérték képzés új részleges módját vezethetjük be, amely az összes véges tagot figyelembe veszi, de a torlódási pontot, vagy pontokat nem adja hozzá. Ez megfelel annak az ismert szemléletnek, amely egy adott pont környezetét tekinti, de az adott pontot nem. Tehát például , vagyis ez a határérték a 1-nél kisebb szomszédos racionális számot adja eredményül.
Így a természetes számok hagyományos halmaza = ℕ.
És például a racionális számok a [0,1] intervallumon = ℚ ∩ [0,1]
Valós számok a [0,1] intervallumon = ℝ ∩ [0,1]
Tehát eddig 5 axiómát írtunk le, bevezettük a végtelen fogalmait, a véges horizontja szimbólumot, és kétféle határérték képzést, illetve a sorozatokkal végzendő határértéket érintő műveletek, (unió, összeg). De a természetes számok használatát már 3 axiómával el lehet kezdeni, a további lépéseket elég akkor megtanulni, amikor elég érettek arra a gyerekek.
De térjünk vissza a kezdő problémához. A természetes számok sorozata és a természetes számok hatványhalmazainak sorozata azonos számosságú, de ez nem igaz a belőlük képzett halmazok esetére. Az ℕ halmaznak részhalmazai között ott vannak például a páros számok, vagy a páratlan számok részhalmazai, amelyek sorszáma nem szerepel ℕ-ben. Viszont szerepel a korábban definiált 𝕀 halmazban. Bináris számként leírva a H(n) sorozat mintájára:
...1010 a páros számok halmazának sorszáma 𝕀 halmazban,
...0101 a páratlan számok halmazának sorszáma az 𝕀 halmazban.
Halmazaink számossága: |P(ℕ)| = |𝕀| = |ℝ|
(Takács Ferenc, 2025. február)
